Całka nieoznaczona Monika:

	1
∫
	(√1+x2)3

Monika: Pomocy? Jak to zrobić?

Monika: pomocy?

Monika:

ZKS: x = tg(u) ⇒ dx = [tg²(u) + 1]du

	tg2(u) + 1		du
∫		du = ∫		= ∫ |cos(u)|du =
	[√1 + tg2(u)]3		√tg2(u) + 1

	x
|sin(u)| + C = |		| + C
	√x2 + 1

Monika: jeżeli x=tg(u)

	1
dx=		du
	1+u2

du=dx*(1+u²)

ZKS: Znamy pochodną funkcji tg(x)?

Monika:

1
cos2x

ZKS:

	1
A wiesz ile wynosi		jak byś mogła to inaczej zapisać?
	cos2(x)

Poza tym jak otrzymałaś po zróżniczkowaniu x = tg(u)

	1
dx =		du?
	1 + u2

Monika: to jest inaczej tg²x+1 zgadza się

ZKS: Tak więc wszystko już jest zrozumiane i nie ma wątpliwości?

Monika: tak wszystko jasne! Dziękuje

Monika:

	x
a nie rozumiem dlaczego |sinu|=
	√1+x2

ZKS:

	x
Skoro x = tg(u) to u = arctg(x) a sin[arctg(x)] =		.
	√1 + x2

ZKS: Wykorzystamy do tego wzór

	tg(α)
sin(α) =		.
	√tg2(α) + 1

Niech tg(α) = x wtedy α = arctg(x)

	x
sin[arctg(x)] =		.
	√x2 + 1

Oczywiście przy odpowiednich założeniach które nie chciało mi się już pisać ale mam nadzieję że teraz już wiesz wszystko.

Monika:

	x
ale skąd sin(arctgx)=
	√1+x2

z jakiego to wzoru?

Mila: II sposób

	1		1		−1
[		=t, x=		, dx=		dt}]
	x		t		t2

	−1	dt		−t dt
∫			=∫		=
	t2	(1+1/t2)*√(1+1/t2)		(t2+1)√t2+1

teraz podstawienie :

	du
1+t2=u; 2tdt=du; tdt=
	2

	−1		du		−1
=		∫		=		∫u−3/2du=.. dokończ
	2		u√u		2

ZKS: Monika napisałem Ci przecież wiedziałem że pewnie o to zapytasz więc na zapas wcześniej to napisałem.

Monika:

	−t
Mila skąd się wzięło ∫		chodzi o te −t
	√1+t2(1+t2)

ZKS:

	1		1
−		*		=
	t2		1   1   1 + * (1 + )1/2   t2   t2

	1
−		=
	t2 + 1   1   t2 * * | |√t2 + 1   t2   t

−|t|
	.
(t2 + 1)√t2 + 1

Monika: a jak np. rozwiązać

	x*earctgx		x
∫		=| f(x)= earctgx g'(x)=		|=
	(√1+x2)3		(√1+x2)3

	1		−1
f'(x)=earctgx*		g(x)=		|
	1+x2		√1+x2

	−earctgx		earctgx
=		+∫
	√1+x2+		(√1+x2)3