ciagi zadanie:

	n+2
jak obliczyc granice tego ciagu: an=(−1)n		?
	3n−7

zadanie:

	(−1)n(n+2)		2   n(1+ )*(−1)n   n
lim		=lim		dobrze?
	3n−7		7   n(3− )   n

Mila: Granica nie istnieje. (−1)ⁿ ciąg ograniczony naprzemienny Gdyby była sytuacja: a_n=(−1)ⁿ *c_n, gdzie c_n→0 to granica 0.

zadanie: dziekuje

zadanie: a czy ten ciag bedzie ciagiem ograniczonym?

zadanie: ?

Mila: Tak.

zadanie: bo w ksiazce mam napisane ze ograniczeniem tego ciagu jest np. A=5 dlaczego akurat 5 ? anie 3 czy 4?

zadanie: mowie o tym ciagu poczatkowym (tym co nie ma granicy)

zadanie: moglbym prosic o pomoc

Mila: Funkcja homograficzna :

	x+2
f(x)=		jest malejąca przedziałami.
	3x−7

	7
x=		asymptota pionowa
	3

nas interesują x∊N₊ obliczamy a₁, a₂

	n+2
cn=		ciąg malejący począwszy od n≥3
	3n−7

A=5 jest ograniczeniem na wyrost. ( sprawdź rachunki)

zadanie: ale tam jest jeszcze (−1)ⁿ

zadanie:

	n+2
a nie samo
	3n−7

Mila: Tak, liczysz a_n, ja rozważyłam ciąg c_n, a wartości ciągu a_n będą oscylować. Możesz osobno rozważyć wyrazy dla n nieparzystych i n parzystych.

3		−5		6		−7
	,−4,		,		,		,...
4		2		5		8

zadanie: dziekuje

zadanie: mam jeszcze kilka pytan

zadanie:

	3n+2		5
ciag an=		moze byc ograniczony z dolu np. przez		a z gory np. przez 3?
	n+7		8

Mila: Tak. a_n ciąg rosnący, a_n>0

	3+2
a1=
	8

	5
an≥
	8

Lim_n→∞a_n=3 a_n ograniczony z góry 3.

3n+2
	<?3 i n∊N+⇔
n+7

3n+2<3(n+7) 2<21 prawda dla n∊N₊

zadanie: ok dziekuje wykaz, ze ciag(a_n) jest ograniczony z dolu a_n=n−10²⁰⁰³ ciag jest ograniczony z dolu jesli a_n≥m czyli n−10²⁰⁰³≥m m≤n−10²⁰⁰³ dla n=1 mam: m≤1−10²⁰⁰³ mozna tak wykazac ? (jesli nie to sa moze jakies inne sposoby?)

Mila: Dobrze. a_n jest ciągiem rosnącym dla n=1 ma wartość najmniejszą n−10²⁰⁰³≥1−10²⁰⁰³ co jest oczywiste W poprzednim zadaniu, też dodaj komentarz, że dla n=1 ma wartość najmniejszą.

zadanie: ok dziekuje

	n+1
zbadaj ograniczonosc ciagu (an)=
	n

	n+1		1
an=		=1+		dla n=1 mam:
	n		n

	1
1+		=1+1=2 stad IanI≤2
	1

z nierownosci −2≤a_n≤2 dla n∊N₊ wynika, ze ciag a_n jest ograniczony. a to jest dobrze?

zadanie: ?

Mila: Tak.

	1
an=1+		ciąg malejący
	n

a_n>0 a₁=2 największa wartość a_n>1 i a_n≤2

zadanie: dziekuje bardzo wroce jeszcze do przykladu z 19:32 jest to ciag rosnacy wiec aby wykazac, ze jest on ograniczony z dolu mozna by udowodnic, ze jest on rosnacy(a_n+1−a_n>0) i posluzyc sie na stwierdzenie, ze kazdy ciag rosnacy jest ograniczony z dolu?

Mila: Tak. f(x)=x−10²⁰⁰³ funkcja liniowa rosnąca, zatem f(n)=n−10²⁰⁰³ funkcja rosnąca dla n∊N₊ Korzystaj z własności znanych funkcji, ale z definicji też będzie dobrze, lecz więcej pracy.

zadanie: dziekuje

zadanie: a jak wykazac, ze ciag a_n=2ⁿ−n² jest ograniczony z dolu? bo jak robilem tym sposobem co wczesniej to mi nie wychodzilo

Mila: To nie jest ciąg monotoniczny, zbadaj kiedy maleje, kiedy rośnie, znajdź najmniejszą wartość.

zadanie: Najmniejsza wartosc to −1 bo, a₃=8−9, czyli jest ograniczony z dolu przez −1 tak?

Mila: Tak.