ciagi zadanie:

	n+2n
wykaz, ze ciag jest ograniczony an=
	3n

ciag jest ograniczony gdy m≤a_n≤M.

zadanie: ale jak to zastosowac?

Aga1.:

	n+2n
0≤		≤1
	3n

zadanie: i to koniec?

ICSP: Dolne ograniczenie jest oczywiste. Górne wypadało by jednak udowdnić jakoś:(

Godzio:

	n		2n
an =		+
	3n		3n

	n		1
Ciąg		jest malejący, więc największym jego wyrazem jest		(dla n = 1 )
	3n		3

	2
Analogicznie dla drugiego ciągu,
	3

1		2
	+		= 1
3		3

zadanie: ok dziekuje

zadanie:

	1+(−1)n*n2
zbadaj ograniczonosc ciagu an
	n+19

	5		4		17
a1=0; a2=		; a3=−		; a4=		z tego wynika ze ciag nie jest monotoniczny
	20		11		23

czyli nie jest ograniczony z dolu i nie jest ograniczony z gory . dobrze?

ICSP: zwły wniosek. Z tego że nie jest monotoniczy wcale nie wynika ze nie jest ograniczony.

Godzio: To że ciąg nie jest monotoniczny nie oznacza, że jest ograniczony Pomyśl nad innym uzasadnieniem

zadanie: chyba nie wpadne na to uzasadnienie

Godzio: Co się dzieje gdy n jest parzyste i idzie do nieskończoności ? Co się dzieje gdy n jest nieparzyste i idzie do nieskończoności ?

zadanie: gdy n jest parzyste wyrazy ciagu sa dodatnie a gdy n jest nieparzyste to sa ujemne

zadanie: o to chodzilo?

zadanie: wiec raz jest dodatnie a raz ujemne dlatego jest nieograniczony z dolu i nieograniczony z gory tak? czyli nie ma takiej liczby m i M aby spelniala warunki tak?

Godzio: Dla n parzystych mamy:

1 + n2
	co dla dużych n dąży do nieskończoności (bo n2 rośnie znacznie szybciej niż
n + 19

n) Dla n nieparzystych mamy −n², czyli dąży do − nieskończoności, zatem ciąg nie jest ograniczony ani z dołu ani z góry

zadanie: dziekuje

zadanie: ciag (a_n) jest rosnacy. co mozna powiedziec o monotonicznosci ciągu (b_n)? b_n=2a_n−3 wtedy ten ciag jest malejacy bo b_n=−a_n b_n=−3a_n+10 wtedy ten ciag jest rosnacy dobrze?

Godzio: Popatrz na to co napisałeś (chyba powinno być na odwrót)

ICSP: a_n rosnący ⇒ a_n+1 − a_n > 0 Aby zbadać monotoniczność ciągu b_n badasz znak : b_n+1 − b_n

zadanie: czyli 2a_n+1−3−2a_n+3=2(a_n+1−a_n)>0 czyli ciag b_n jest rosnacy

zadanie: zbadaj monotonicznosc ciagu (a_n) a_n=b₁+b₂+...+b_n, gdzie (b_n) jest ciagiem o wyrazach dodatnich czyli: b₁+b₂+...+b_n+1−b₁−b₂−...−b_n=b_n+1−b_n dobrze? i co teraz?

Godzio: b_n też się skasuje, zostanie tylko b_{n + 1} > 0 Wniosek: a_n − rosnący

zadanie: dziekuje

zadanie: podaj przyklad ciagu: rosnacego i ograniczonego z gory malejacego i ograniczonego z dolu ale przeciez kazdy ciag rosnacy jest ograniczony z dolu a kazdy ciag malejacy jest ograniczony z gory no to jak?

ICSP: nie każdy. Weź dowolny ciąg rosnący z wyrazami ujemnymi. Wtedy będzie on ograniczony przez dowolną liczbę dodatnią.

Godzio:

	1
(1 +		)n −− rosnący i ograniczony z góry
	n

1
	− malejący i ograniczony z dołu
n

zadanie: nie wiem jaki to moze byc ciag (u mnie z tymi ciagami tak pisalo w ksiazce)

zadanie:

	1
bo ciag		jest jeszcze ograniczony z gory ale to nie przeszkadza?
	n

zadanie: ?

ICSP: a masz w poleceniu coś na ten temat ?

zadanie: nie