Wielomiany- POKAŻ, ze wielomian .... Sebol: Pokaż, że jeśli wielomian W(x)= x³+p+q ma pierwiastek podwójny to wtedy: (p/3)³+(q/2)²=0 w góry wielkie dzięki

Bogdan: Czy zapis wielomianu jest taki, jak podałeś, czy może jest taki: W(x) = x³ + px + q, albo taki: W(x) = x³ + px² + q ?

Sebol: W(x)= x3+px+q sry

Bogdan: Niech p + q = d Wielomian W(x) = x³ + d ma tylko jeden pierwiastek w zbiorze R. x³ + d = 0 ⇒ (x + ³√d)(x² − ³√d * x + ³√d² ) = 0 ⇒ x = −³√d Popraw treść zadania.

Bogdan: Teraz lepiej

Bogdan: W(x) = x³ + px + q, a = 1, b = 0, c = p, d = q Zastosuj wzory Viete'a dla wielomianu 3 stopnia: http://matma4u.akcja.pl/twierdzenia/funkcje/wst.htm

Bogdan: x₁ − pierwiastek podwójny, x₃ − trzeci pierwiastek. Na podstawie wzorów Viete'a: 2x₁ + x₃ = 0 ⇒ x₃ = −2x₁

	−p
x12 + 2x1x3 = p ⇒ x12 − 4x12 = p ⇒ −3x12 = p ⇒ x12 =
	3

	q
x12x3 = −q ⇒ −2x13 = −q ⇒ x13 =
	2

	−p		q
x1 = (		)1/2 i x1 = (		)1/3
	3		2

	−p		q
(		)1/2 = (		)1/3 / 6
	3		2

	−p		q		p		q
(		)3 = (		)2 ⇒ −(		)3 = (		)2
	3		2		3		2

	p		q
Stąd (		)3 + (		)2 = 0
	3		2

Eta: ok zatem mam z głowy, bo już miałam pisać.

Bogdan:

AS: Bogdanie − podaję nieco inną wersję gdyby rozwiązujący nie znał wzorów Viete'a dla równania stopnia trzeciego. a − pierwiastek podwójny , b − trzeci pierwiastek Równanie ma postać (x − a)²*(x − b) = x³ + p*x + q Po wykonaniu działań i uporządkowaniu x³ − (2*a + b)*x² + (a² + 2*a*b)*x − a²*b = x³ + p*x + q Porównując współczynniki przy tych smych potęgach mamy układ równań 2*a + b = 0 a² + 2*a*b = p −a²*b = q Z pierwszego równania b = −2*a wstawiam do trzeciego równania −a²*(−2*a) = q 2*a³ = q a = ³√q/2 b = −2*a = −2* ³√q/2 Znalezione a i b wstawiam do równania drugirgo ³√(q/2)² + 2*³√(q/2)*(−2*³√(q/2) = p ³√(q/2)² − 4³√(q/2)² = p −3*³√(q/2²} = p ³√(q/2)² = −p/3 podnosząc obie strony do potęgi trezeciej mamy

	p		q
(		)3 + (		)2 = 0
	3		2

Eta: Witaj AS Wszystkie zadania roztrzaskałeś i nie mam co robić

AS: Oddaj mi trochę wolnego czasu