g fx: Rozwiąż równanie √x² + 4x + 4 + 3x + 8 = 0 Korzystając z √x² = |x| otrzymuję równanie równoważne: |x+2| + 3x + 8 = 0 Teraz jak mam to rozpatrzeć? Jako dwa równania: |x+2| = −3x − 8 lub |x+2| = 3x + 8 ? Nie proszę w żadnym wypadku o rozwiązanie, proszę o wskazówkę .

Patryk: ja bym zrobił graficznie

ZKS: Chcesz to rozwiązać analitycznie?

ICSP: Rozpisać przedziałami

Trivial:

	⎧	x+2 + 3x + 8, gdy x ≥ −2
f(x) = |x+2| + 3x + 8 =	⎨
	⎩	−x−2 + 3x + 8, gdy x < −2

ICSP: albo zauważyć że : |x+2| = −3x − 8 dla −3x − 8 < 0 masz od razu nierówność prawdziwą dla −3x − 8 > 0 obie strony są dodatnie i podnosisz do kwadratu.

fx: Ok. (−∞; −2]: −x−2 +3x + 8 = 0 −2x = 6 x = −3 (−2; +∞): x + 2 + 3x + 8 = 0 4x = −10 x = −2,5 ∉ (−2; +∞) Rozwiązanie to x = −3 Ok?

ZKS: Można tak jak Trivial i ICSP albo |x + 2| = −(3x + 8) jeżeli −(3x + 8) < 0 to równanie jest sprzeczne jeżeli −(3x + 8) ≥ 0 to rozpatrujesz dwa przypadki x + 2 = −(3x + 8) ∨ x + 2 = 3x + 8.

fx: Będę wdzięczny za kilka takich zadań na wieczór .

Trivial: fx, mogę Ci wymyślić kilka przykładów. Na początek jakieś bardzo proste: 1) |x+5| + x+5 = 12 2) x*|x| = 4 3) |x² + |2x+3| + 1| = 2

fx: Dziękuję bardzo . Wieczorem się za nie zabiorę .

ZKS: To i ja dam na końcu. 2|x − |x + |x − 1||| = |x + |x − |x + 1|||

fx: 1. (−∞; −5]: −x −5 + x + 5 = 12 − sprzeczność (−5; +∞): x + 5 + x + 5 = 12 2x + 10 = 12 x = 1 Odp: x = 1. 2. x * |x| = 4 x²*x² = 16 x⁴ = 16 x = 2 Odp: x = 2 3. ... Zrobiłem tak (rozpatruję równanie w zbiorze liczb rzeczywistych, bo na maturze rozwiązań zespolonych nie wymagają chyba): □ x² + |2x + 3| + 1 = 2 |2x + 3| = 1 − x² policzyłem na przedziałach (−∞; −1,5] oraz (−1,5; +∞) otrzymując odpowiednio dwa równania kwadratowe: x² − 2x − 4 = 0 (brak rozwiązań w zadanym przedziale) oraz x² + 2x + 2 = 0 (brak rozwiązań). □ x² + |2x + 3| + 1 = −2 |2x+3| = −3 − x² Te same przedziały co wcześniej (−∞; −1,5] oraz (−1,5; +∞). Na pierwszym równanie x² − 2x = 0 (brak rozwiązań w zadanym przedziale). Na drugim przedziale: x² + 2x + 6 = 0 brak rozwiązań. Wniosek − równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Dobrze?

Trivial: 1 OK 2 FAIL Nie możemy sobie tak beztrosko podnosić do kwadratu, ponieważ każde takie podniesienie do kwadratu przyczynia się do możliwego zwiększenia ilości rozwiązań w stosunku do oryginalnego równania. POSSIBLE FIX Zauważ, że żaden x ≤ 0 nie spełnia równania i dodaj założenie x > 0. Wtedy rozwiązanie będzie poprawne. 3 OK HINT: zauważ, od razu że x² + |2x+3| + 1 jest zawsze > 0, a zatem możemy bezpiecznie opuścić moduł.

fx: 2. OK. 3. Racja, w ogóle nad tym nie pomyślałem tylko machinalnie pojechałem.

fx: Czy nierówności z modułem rozwiązuje się w sposób analogiczny do równań?

Trivial: Sprawdź sam.

ZKS: Jeszcze moje zostało do rozwiązania.

fx: ZKS − Twoje zadanie zostawiam sobie na później .

bezendu: @ZKS w Twoim zadaniu wyszło x=3 ? tylko ja zrobiłem to graficznie bo algebraicznie trzeba było się trochę z tym pomęczyć

fx: |3x + 9| + |2x + 4| ≤ 6 Czy dobrze to rozwiązałem? □ (−∞; −3)

	19
x ≥ −
	5

□ [−3; −2] x ≤ 1 □ (−2; +∞)

	7
x ≤ −
	5

	19		7
Rozwiązanie: x ∊ [−		; −		]
	5		5

ok?

bezendu:

ZKS: bezendu to za mało. Algebraicznie idzie znacznie szybciej niż graficznie z zaznaczeniem znacznie.

bezendu:

	1
@ZKS x=		x=3 ? teraz ok ?
	3

fx: |x − 1| + |5z − 10| < 5 Przedziały: □ (−∞; 1] brak rozwiązań □ (1; 2] x > 1 □ (2; +∞)

	2
x < 2
	3

	2
Rozwiązanie: x ∊ (1; 2		)
	3

OK?

bezendu: 5z ?

ZKS: Tak jest i . A tak poza tym bezendu chciało Ci się to rysować?

ZKS: Chochlik czepiasz się 5x.

bezendu: nie mam innego wyjścia w maju matura więc skoro nie jestem pewny sposobu algebraicznego to zostaje graficzny

fx: |5x − 5| − |x − 6| ≥ 2 Za każdym razem inne wyniki mam . Mam takie przedziały: □ (−∞; 1) −5x + 5 + x + 6 ≥ 2 □ [1; 6] 5x − 5 + x + 6 ≥ 2 □ (6; +∞) 5x − 5 − x + 6 ≥ 2 Czy dobrze te nierówności wyznaczyłem? Bo chyba tutaj mam błędy .

ZKS: Mnie uczono zawsze rozbijać na przypadki tak (−∞ ; 1) później [−1 ; 6) i [6 ; ∞).

Mila: ZKS masz literówkę. (−∞,1) <1,6) <6,∞)

fx: Czy to ma znaczenie? Mila rzucisz okiem na moje nierówności z 22:35?

ZKS: Dzięki za poprawę chochlika Mila.

ZKS: Pierwszy i drugi przypadek. ... + (x − 6) ... = ... + x − 6 ...

fx: Nie wiem kurcze gdzie robię błąd z tą nierównością. Eh.

fx: Aaa, no tak. Dziwne błędy robię...

Mila: |5x − 5| − |x − 6| ≥ 2 a) (−∞; 1) obydwa wyrażenia ujemne −5x+5−(−x+6)≥2⇔ −5x + 5 + x − 6 ≥ 2 b)<1; 6) ujemne tylko x−6 5x−5−(−x+6)≥2 5x − 5 + x − 6 ≥ 2 c) <6; +∞) 5x − 5 − x + 6 ≥ 2 Nie rozwiązuję, bo nie lubisz gotowców.

fx: Dziękuję Mila. Miałem spore zaćmienie umysłu dziś .

Mila: Za długo siedzisz nad matematyką i przy komputerze. Wakacje są, jutro idź na randkę. Powodzenia.

fx: Nie, nie siedzę za długo nad matematyką . Obecnie pierwszy raz czuję realnie, że spędzam nad tym tyle czasu ile potrzebuję aby przygotować się w końcu dobrze do matury . Maturę z 2012 potraktowałem po łebkach, w tym roku nie podszedłem bo nie mogłem się zmobilizować do nauki. Wakacji już dla mnie nie ma drugi rok, chyba, że urlop w pracy . Moja ranka ze mną mieszka i już dawno śpi .

Mila: To pięknie. Tym bardziej powodzenia w zdobywaniu wiedzy.

Mila: Z jakiego zbioru rozwiązujesz zadania?

fx: Zbiór Kiełbasy głównie, do tego zadania z internetu − bo pewne zagadnienia w Kiełbasie mają mało zadań.

Mila: Dobry wybór.

Mila: Rozumiem, że będziesz zdawał P i R. Jeśli tak to rozwiązuj arkusze R.

fx: Zamierzam zdawać R bo P już kiedyś zdałem, ale w sumie może przy okazji poprawię sobie podstawę − nie wiem jeszcze, jakoś do lutego chyba się deklaracje składa.