wyznacz wszystkie ekstrema funkcji nikt: Wyznacz wszystkie ekstrema funkcji: f(x,y)= −x³−y³+6xy określonej na R² Prosiłbym o kolejne opisanie etapów zadania (czyli co konkretnie policzono żeby tak wyszło)

Bogdan: Wpisz w wyszukiwarkę na tym forum hasło ekstremum, potem ekstrema, znajdziesz wiele rozwiązanych podobnych przykładów.

nikt: https://matematykaszkolna.pl/forum/18603.html to będzie według takiej zasady tak

Bogdan: Tak. Możemy razem rozwiązać Twoje zadanie. Jesteś gotowy do współpracy? Jeśli tak, to wyznacz pochodne I rzędu, czyli f'_x oraz f'_y. Podaj wyniki.

nikt: f'x=−3x²+6y f'y=−3y²+6x

nikt: teraz mam przyrównać do zera te pochodne?

Bogdan: Dobrze. Rozwiąż teraz układ równań: f'_x = 0 f'_y = 0 Stosuj dolne indeksy, zobacz tu obok wpisz a otrzymasz oraz niżej kliknij w Kliknij po więcej przykładów

nikt: ok, przepraszam nie zauważyłem dolnych indeksów x = 2 y = −2

nikt: pomyłka x=0 y =0

Bogdan: Nie całkiem. Są 2 rozwiązania: x₁ = 0 i y₀ = 0 oraz x₁ = 2 i x₂ = 0. Mamy więc 2 podejrzane o ekstremum punkty: A = (0, 0) oraz B = (2, 2). Wyznacz teraz pochodne cząstkowe II rzędu, czyli f''_xx, f''_xy, f''_yx, f''_yy.

Bogdan: Poprawiam − Są 2 rozwiązania: x₁ = 0 i y₁ = 0 oraz x₂ = 2 i y₂ = 2.

Bogdan: Jeszcze raz zaraz poprawię

nikt: f''_xx=−6x+6y f''_xy=−3x²+6 f''_yx=−3y²+6 f''_yy=−6y+6x

Bogdan:

	1
1. −3x2 + 6y = 0 ⇒ x2 − 2y = 0 ⇒ y =		x2
	2

	1		1
2. −3y2 + 6x = 0 ⇒ y2 − 2x = 0 ⇒		x4 − 2x = 0 ⇒		x(x3 − 8) = 0
	4		4

2. x₁ = 0 lub (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0 ⇒ x₂ = 2

	1		1
1. y1 =		* 0 = 0 lub y2 =		* 4 = 2
	2		2

A = (0, 0), B = (2, 2) Sprawdź moje obliczenia.

Bogdan: Pochodne cząstkowe II rzędu wyznaczymy jeszcze raz.

nikt: jeden y=0 wychodzi 2 wychodzi y=−2 , podstawiam do równania z x i jedno wychodzi x²=−4 więc to nie może być i wychodzi drugi x=0

Bogdan: Jeśli f'_x = −3x² + 6y, to f''_xx = −6x, f''_xy = 6 Jesli f'_y = −3y² + 6x, to f''_yx = 6, f''_yy = −6y Do tych pochodnych trzeba wstawić współrzędne punktów A i B: f''_xx(0, 0) = 0, f''_xy(0, 0) = 6 f''_yx(0, 0) = 6, f''_yy(0, 0) = 0 Zrób to samo dla punktu B = (2, 2)

nikt: co do równań to miałem błąd i dlatego wychodził mi jeden y=−2 ,ale już poprawiłem. f''_xx=−12 f''_xy=6 f''_yx=6 f''_yy=−12

Bogdan: Z drugich pochodnych tworzymy wyznacznik: | 0 6 | W(0, 0) = | | = 0 − 36 = −36 < 0, brak ekstremum w punkcie A(0, 0). | 6 0 |

Bogdan: Ok. Wyznacz wyznacznik W(2, 2)

nikt: czyli |−12 6| W(2,2)=| |= 144−36=108 > 0 | 6 −12| czyli jak jest większe od zera to jest ekstremum w punkcie B ,o to chodziło?

Bogdan: Jeśli wartość wyznacznika W(x₀, y₀) < 0, to brak ekstremum. Jeśli wartość wyznacznika W(x₀, y₀) = 0, to trzeba zastosować dodatkowe narzędzia dla ustalenia istnienia ekstremum w punkcie (x₀, y₀). Jeśli wartość wyznacznika W(x₀, y₀) > 0 i f''_xx(x₀, y₀) > 0 (względnie f''_yy(x₀, y₀) > 0 ), to w punkcie (x₀, y₀) jest minimum. Jeśli wartość wyznacznika W(x₀, y₀) > 0 i f''_xx(x₀, y₀) < 0 (względnie f''_yy(x₀, y₀) < 0 ), to w punkcie (x₀, y₀) jest maksimum.

nikt: czyli to jest maximum w punkcie b

Bogdan: Tak, w punkcie B(2, 2) jest maksimum, bo f''_xx(2, 2) = −12 < 0. Można obliczyć wartość tego ekstremum: f(2, 2) = −2³ − 2³ + 6*2*2

Bogdan: I to wszystko

nikt: Bardzo dziękuje , już chyba rozumiem

Bogdan: Ja również dziękuję za podjęcie współpracy i życzę powodzenia

nikt: A tak z ciekawości to "Jeśli wartość wyznacznika W(x0, y0) = 0, to trzeba zastosować dodatkowe narzędzia dla ustalenia istnienia ekstremum w punkcie (x0, y0)." JAKIE TO DODATKOWE NARZĘDZIA?

Bogdan: To trochę dłuższy wywód. Znajdziesz informacje o ekstremum funkcji wielu zmiennych gdzieś w internecie, spróbuj wpisać odpowiednie hasło w jakąś wyszukiwarkę np. w GOOGLE.