Zastosowanie residuów do obliczania całki zespolonej Wilczan: Mam takie oto zadanie:

	ez
Obliczyć ∫L		dz, gdzie L jest okręgiem o równaniu |z−i|=1.
	(1+z2)2

W tym zadaniu da się zauważyć że istnieją dwa bieguny dwukrotne z=i i z=−1. Tylko że nie za bardzo rozumiem równania okręgu. Czy można by go przedstawić w postaci |z−a|=r gdzie: a jest przesunięciem (w przypadku powyższego zadania będzie to przesunięcie o i w górę i co za tym idzie biegun z=−1 ma zostać pominęty); r jest to promień okręgu. Czy przedstawiony przeze mnie tok myślenia jest prawidłowy?

Trivial: |z−a| = r to zwykłe równanie okręgu ukryte w zapisie zespolonym. Niech z = x + iy oraz a = S_x + iS_y, a także S = (S_x, S_y). Mamy: |z−a| = |x+iy − S_x − iS_y| = |x−S_x + i(y−S_y)| = √(x−S_x)² + (y−S_y)² = r /² (x−S_x)² + (y−S_y)² = r²

Trivial: A do tego zadania: pierwiastkami są z_1,2 = i oraz z_3,4 = −i. Wybieramy punkt i.

	ez		1	d		ez
resz=i[		] = limz→i			[(z−i)2		]
	(1+z2)2		1!	dz		(1+z2)2

	d		ez		ez(z+i)2 − 2ez(z+i)
= limz→i		[		] = limz→i
	dz		(z+i)2		(z+i)4

	−4 − 4i		1+i
= ei		= −ei
	16		4

	ez		1+i		πi
∫L		dz = 2πi*(−ei		) = −		(1+i)ei.// można sobie wymnożyć
	(1+z2)2		4		2

Wilczan: Dzięki