:/ ICSP: Dwa zadania dla Przyszłych maturzystów 1. Znajdź takie m aby nierówność była spełniona dla każdego x ∊ R :

	x2 + mx − 2
−3 <		< 2
	x2 − x + 1

2. Nierówność :

	15
5x +		< 0
	2 − 5x

Piotr: Ja spróbuje pozniej zrobic, bardzo ciekawe zadania

Piotr: Zadanie 1 Założenie x²−x+1≠0 Δ<0 D=R 1. −3x²+3x−3<x⁺mx−2 −4x²+x(3−m)−1<0 Δ<0 Δ=9−6m+m²−16=m²−6m−7<0 Δ'=36+28=64<0 m₁=7 ; m₂=−1 m∊(−1;7) 2. x²+mx−2<2x⁻2x+2 x²−2x−mx+4>0 x²+x(−2−m)+4>0 Δ<0 Δ=(−2−m)⁻4=m²+4m=m(m+4)<0 tutaj okrelsam miejsce zerowe m=0 ; m=−4 m∊(−4,0) Cześć wspolna 1 i 2 to przedzial m∊(−1;0)

Janek191: 1) Mianownik jest dodatni , więc można pomnożyć przez x² − x + 1

Piotr: W zadaniu 2 wyszedł mi koncowy wynik x∊(−∞,1)

ICSP: Pierwsze prawie dobrze. W drugim wynik zły.

ICSP: policz jeszcze raz deltę w nierównośći : x² − (m + 2)x + 4 > 0 Polecam wzór a² − b² w tej delcie.

Piotr: Widze juz blad nie pomnozylem przez ''4'' zaraz poprawie

Piotr: x⁺x(−2−m)+4>0 Δ<0 Δ=(2−m⁾⁻4²=(2−m−4)(2−m+4)<0 2−m−4=0 2−m+4=0 m=−2 ; m=6 m∊(−2;6) Czesc wspolna 1 i 2 to przedzial m∊(−1,6)

Piotr: Zle jeszcze raz: Δ=(−2−m)²−4²=(−2−m−4)(−2−m+4)<0 m=−6 ; m=2 m∊(−6;2) Czesc wspolna 1 i 2 to przedzial m∊(−1;2)

ICSP: pierwsze dobrze. Zostąło jeszcze drugie.

Saizou :

	15
5x+		<0
	2−5x

zał: 2−5^x≠0 5^x≠2 x≠log₅2 x∊R\{log₅2}

	15
5x+		<0
	2−5x

5x(2−5x)+15
	<0
2−5x

−52x+2*5x+15
	<0
2−5x

(2−5^x)(−5^2x+2*5^x+15)<0 −1(2−5^x)(5^x−5)(5^x+3)<0 x₁=log₅2 x₂=log₅5 x₃=log₅3 no i rysujemy 'wężyka' od góry pamiętając że log₅2 nie ma w dziedzinie x∊(−∞:log₅2) ∪ (log₅3:1)

ZKS: Saizou chyba coś nie teges lepiej to popraw.

Saizou : właśnie coś mi tu nie pasuje, tak to jest jak się liczy od razu na komputerze

ZKS: Czy 5^x + 3 może być równe 0?

Piotr: Ja to probowalem robić wprowdzilem zmienna pomocnicza t i w sumie wszystko ladnie wychodzilo, ladne liczby ale zla odpowiedz ; /. Tutaj z logarytmem cos zwiazane musi byc ?. Ja to pomnozylem przez kwadrat mianownika, potem wprowdzilem za 5^x=t ale i tak lipa ; /. Sprobuje pozniej

ZKS: Jeżeli robisz podstawienie 5^x = t to to t jakie jest?

asdf: t = 5^x, t ≠ 2: (t−2)(t²−2t − 15) < 0

Piotr: wyszło mi rownanie t³−4t⁻11t+30<0 , gdzie 5^x=t i potem dalej robilem i zapisalem w postaci iloczynowej wyszlo mi, ze (t−2)(t−5)(t+3)<0

asdf: jeszcze jedno zalozenie o czym przypomniał ZKS, ale nie bede psuc zabawy

Piotr: Tak samo mi asdf wyszlo

Piotr: tylko zalozenia nie dalem : (

asdf: w sumie nie trzeba dawać tego ostatniego założenia − można wywnioskować później

ZKS: Ale Saizou ładnie rozwiązał nawet nie potrzebował wprowadzać nową zmienną t. Tylko na samym końcu się pomylił.

ZKS: Dobra ja już się nie udzielam bo to post ICSP.

Piotr: t∊(−∞,−3) U (2,5) 5^x=t t<−3 5^x<−3 Brak rozwiazania 2<t<5 i 5^x<5 5^x>2 x<1 brak rozwiazania

asdf: @Piotr łatwiej: 5^x = t x = log₅t

Piotr: Tylko, ze ja jeszcze nie mialem logarytmów. Zaczelismy ledwo pod koniec czerwca. Wiem o co Ci chodzi. Ale tym moim sposobem, to jak dalej to skonczyć?

Saizou : 5^x+3=0 5^x=−3 sprzeczność ..... x∊(log₅2:1)

ZKS: Saizou jest git.

asdf: @Piotr Jak nikt nie udzieli Ci wskazowki do godz. 22 to pomoge jak wroce.

Piotr: Ok, dzięki

ZKS: Piotr skoro robisz te podstawienie to jakie jest t.

Piotr: t >0 ?

ZKS: Dobrze więc teraz powinieneś sobie poradzić. Jak będą jakieś wątpliwości to pisz.

Piotr: Ja musze iść, bede pózniej o 22.. Jezeli x=log₅t to zgodnie z definicja logarytmu t > 0 ale nie wiem czy to tak ma byc

Piotr: Czyli to bedzie odpowiedz taka, ze x∊(0,1) ?

Piotr: Sorry, to tak nie bedzie cofam wypowiedz ostatnia

Piotr: Pomysle pozniej lub jutro bo juz nie mysle po prostu..

ZKS: Skoro rozwiązałeś nierówność tak to do tego należy dodać jeszcze jeden warunek (t < −3 ∨ 2 < t < 5) ∧ t > 0 bierzemy część wspólną przedziałów i dostajemy 2 < t < 5. Teraz wystarczy wrócić z podstawieniem i dokończyć rozwiązywanie tej nierówności.

Piotr: Aha juz rozumiem. 2<5^x<5 x>log₅2 i x<1 Robilem tak od samego poczatku tylko ''wywalielm to 2<5^x bo w funckji wykladniczej sie tak robilo. Mam pytanie odnosnie tego zalozenia, np na lekcji gdy wprowadzalismy zmienna pomocnicza ''t'' i t=2^x to nie pisalismy, ze t>0 . Nie wiem juz sam czy na lekcji zle robilismy czy cos zle mysle

Piotr: I wlasnie od samego poczatku mi wychodzilo, że x<1 bo nie uwzglednilem tej jednej rzeczy

ZKS: Kiedy w funkcji wykładniczej tak się robi że wyrzuca się nierówność 5^x > 2?

Piotr: Na lekcji pisalismy ''brak rozwiazania'' i tutaj tez podobnie https://matematykaszkolna.pl/strona/1416.html

ZKS: Gdzie masz brak rozwiązań? Przecież dla x = 1 widać od razu że 5^x > 2 jest spełnione więc jak może być brak rozwiązań?

Piotr: Faktycznie, ale i tak mi wszystko sie pomieszalo jakos teraz

Piotr: Pewnie chcialem sprowadzić do jednakowych podstaw a liczby 5 nie da sie podnieść do jakiejkolwiek potegi zeby dala 2 i dlatego tak myslalem

ZKS:

	2
Tam masz że 3x < −		a przecież wiesz że zbiór wartości funkcji y = 3x gdzie jest
	3

ZW = (0 ; ∞) czyli 3^x nigdy nie osiągnie wartości mniejszej lub równej zero zatem

	2
3x nigdy nie będzie mniejsze od −		a co za tym idzie otrzymujemy brak rozwiązań.
	3

Rozumiesz?

ZKS: Jak to przecież 5^log₅2 = 2.

Piotr: Tak rozumiem juz. Jeszcze mam jedno pytanie odnosnie tego zalozenia zaraz Ci napisze przyklad z lekcji

ZKS: Okej.

Piotr: Tylko wiesz, ja mialem funkcje wykladnicza przed rozpoczeciem logarytmow(2 lekcje mialem logarytmow) i dlatego tak myslalem ..

Piotr: 4^x−3*2^x+2>0 (2^x)2−3*2²+2>0 t=2^x t²−3t+2>0 i ''t'' pozniej wyjdzie, ze t∊(−∞;1)U (2;∞) t<1 v t>2 x<0 v x>1 I tutaj nie bylo zalozenia ze t>0 jest to przyklad z lekcji

ZKS: Chyba wszyscy tak mieli że funkcje wykładnicze były przed funkcjami logarytmicznymi.

Piotr: Tak, i ja na poczatku myslalem inaczej ze nie da sie podnieść 5 do jakieś potęgi zeby otrzymac 2. Jakbys mogl to sprawdz ten przyklad

ZKS: Rozwiązanie końcowe jest poprawne ale niestety zapis nie. Zauważ że jeżeli t < −2 to jest to sprzeczne. t ∊ (−∞ ; 1) ∪ (2 ; ∞) ∧ t > 0 ⇒ t (0 ; 1) ∪ (2 ; ∞) 0 < 2^x < 1 ∨ 2^x > 2 2^x > 0 ⇒ dla każdego x ∊ R 2^x < 1 ⇒ x < 0 cześć wspólna x ∊ R ∧ x < 0 ⇒ x < 0 2^x > 2 ⇒ x > 1 suma tych przedziałów to nasze rozwiązanie x ∊ (−∞ ; 0) ∪ (1 ; ∞).

ZKS: No w sumie można tak zapisać jak na lekcji ale często właśnie później są jakieś błędy więc lepiej od razu pisać założenia do tej zmiennej jaką wprowadzamy aby później nie dostać jakieś głupoty.

Piotr: No wlasnie przez to nie wprowadzilem tego zaloeznia cholernego... i tyle czasu nad tym myslalem a wszystko dobrze bylo... Czyli bierzemy t>0 bo ZWf=(0,+∞), tak?

Piotr: Popatrz tutaj https://matematykaszkolna.pl/strona/1413.html . Tu tez pan Jakub nie wprowadzil zalozenia ze t>0

ZKS: Przykładowo byś miał nierówność 4^x + 3 * 2^x + 2 > 0 2^x = t (jeżeli nie damy że t > 0 to zobacz co można dostać jeżeli się zapomni o tym że t > 0) t² + 3t + 2 > 0 (t + 1)(t + 2) > 0 t ∊ (−∞ ; − 2) ∪ (−1 ; ∞) t < −2 ∨ t > −1 2^x < −2 ∨ 2^x > −1 i teraz przeważnie dzieją się dziwne rzeczy ale jeżeli pamiętasz że 2^x = t > 0 t ∊ (−∞ ; − 2) ∪ (−1 ; ∞) ∧ t > 0 ⇒ t > 0 2^x > 0 ⇒ x ∊ R albo t ∊ (−∞ ; − 2) ∪ (−1 ; ∞) t < −2 ⇒ 2^x < −2 ⇒ brak rozwiązań ∨ t > −1 ⇒ 2^x > −1 ⇒ x ∊ R tutaj pamiętamy że 2^x > 0 bez zapisywania tego 2^x = t > 0. Suma tych przedziałów to nasze rozwiązanie tak więc x ∊ R.

ICSP: 4^x + 3 * 2^x + 2 > 2 > 0− zachodzi dla każdego x ∊ R x ∊ R po co Ci ta zmienna xD

ZKS: Nie musisz dawać tego założenia ale możesz o tym zapomnieć i dostać błędne rozwiązanie więc błędem nie będzie jeżeli nie napiszesz tego założenia lub je napiszesz. Mam nadzieję że teraz jest wszystko jasne.

Piotr: ZKS mi tlumaczy jedna rzecz i dlatego taki przyklad dal

ZKS: Po to żeby wyjaśnić na prostym przykładzie.

Piotr: Tak, dziękuję ZKS za poświęcony mi czas

ZKS: Na zdrowie. Poproś ICSP to Ci jeszcze da jakiś ciekawy przykład żebyś się nie nudził.

Piotr: ICSP możesz dać jeszcze jakis przyklad najwyzej go jutro rozwiaze ( poziom 1 i 2 klasa liceum)

ICSP:

	(5x −5)(5x + 5)
5x +		> 0
	1 − 5x

i z równań : 8^2x+1 = 32 * 2^{4x − 2}

Przyszły maturzysta: 2^6x * 8 = 8 * 2^4x 2^x = t > 0 t⁶ − t⁴ = 0 t⁴(t − 1)(t + 1) = 0 t = 1 (reszta rozwiązań odpada) ⇒ x = 0 Dobrze ?

ICSP:

Godzio: ICSP przygotowywacz maturalny

ICSP: Witaj Godzio Dawno nie gadaliśmy. CO tam u Ciebie ? Jak sesja ?

Piotr: ICSP zaraz wstawie rozwiazanie nierownosci wykladniczej

asdf: @Piotr nie chce mi sie czytac tego wszystkiego, poradziles sobie z tamtym?

Piotr: Założenie: 1−5^x≠0 1≠5^x x≠0 D∊R−∫0∫

5x(1−5x)+(5x−5)(5x+5)
	>0
1−5x

5x−52x+52x−25
	>0
1−5x

5x−25
	>0
1−5x

(5^x−25)(1−5^x)>0 5^x−25=0 1−5^x=0 x=2∊ do załozenia; x=0 < nie nalezy do zalozenia a więc: (nie mialem jeszcze do konca logarytmow wiec nie wiem czy dobrze odczytam zbiori narysuje wykres) Odp: x∊(−∞;2) hmm? czy na odwrot?

Piotr: Tak poradzilem sobie juz z tamtym zadaniem. Po prostu myslalem ze 5^x>2 to bedzie brak rozwiazan i w tym tkwil moj problem caly i dlatego sie nie zgadzalo z odpowiedzia

ICSP: no to musisz sobie jeszcze z tym poradzić

Piotr: Czyli mam dobrze wszystko oprocz odczytania zbioru rowiazan?

ICSP: do momentu : (1 − 5^x)(5^x − 25) > 0 masz dobrze.

Piotr: I teraz co powinienemn zrobic? Okreslic miejsca zerowe? Takiego czegos to nie mialem w szkole chyba jeszcze

ICSP: Nie miałeś jeszcze funkcji kwadratowej w szkole ?

ICSP: no ale. Można robić powolutki i na logikę : a*b > 0 ⇒ (a > 0 ∧ b > 0 ) v (a < 0 ∧ b < 0 )

Piotr: Mialem funkcje kwadratowa .Tylko, ze pierwszy raz spotykam się ze 'x' jest w wykladniku i ze mam z tego podać zbior rozwiazan

Piotr: Bo wczesniej to bylo , np x⁺4x−16 i takie tam a nie ze 'x' w wykladniku . Mialem funckje wykladnicza ale nie okreslalem rozwiazan w nierownosci powyzszej

ICSP: ale przecież jest taki sam przypadek. W danym miejscu funkcja przechodzi przez oś Ox i zmienia znak. Tak samo jak w przypadku funkcji kwadratowej. Musisz wiedzieć tlyko jakie znaki są po której stronie i możesz podać odpowiedź

Piotr: Na logike latwiejszy dla mnie a=5^x−25 i b=1−5^x 5^x>5² 1>5^x x>2 x>0 (gdyz to funcka rosnaca) lub 5^x−25<0 i 1−5^x<0 x<2 i x<0 Po dokonaniu czesci wspolnej i sumy zbiorow odp to x∊R−∫2∫

Piotr: Do poprawy znowu....no nie

ICSP: 1 > 5^x ⇒ x > 0 Jesteś pewny ?

Piotr: Juz wiem gdzie blad x<0 Zaraz poprawie, tylko pewne papiery wypelnie wpierw

Piotr: I przypadek: x>2 i x<0 x∊ do zbioru pustego II przypadek: x<2 i x>0 x∊(0;2) Odp:x∊(0;2), tak?

ICSP: tak

Piotr: Ok, dzięki za pomoc