dwumian Newtona zadanie: wspolczynnik przy x¹¹ w rozwiieciu dwumianowym wyrazenia (x²+x)ⁿ jest rowny 56. wyznacz n.

wredulus_pospolitus: jakbyś znał dwumian newtona to byś wiedział (x²+x)ⁿ = xⁿ*(x+1)ⁿ jak za pomocą dwumianu Netwona zapiszesz (x+1)ⁿ

zadanie:

	n 1
(x+1)n=xn+		xn−1+.....

zadanie: no i co z tego?

zadanie: ?

zadanie: nie rozumiem moge prosic o pomoc?

zadanie: ?

zadanie:

	n k
jeszcze mozna tak zapisac:		xn−k1k

zadanie:

	n k
czyli jezeli wspolczynnik przy x11 jest rowny 56 to		=56 tylko ile wynosi k?

zadanie: ale tam jest (x²+x)ⁿ

ICSP: Trivial ooo

Trivial: Tak. Jest tam (x²+x)ⁿ. Nic nie zaszło.

Trivial: ICSP, ooo

ICSP: nadal mam ten wpis w wyszukiwarce

Trivial: Jaki wpis?

Trivial: Jeśli chodzi o zadanie to:

	n k		n k
(x2+x)n = ∑k=0..n		x2kxn−k = ∑k=0..n		xk+n

Interesuje nas wyraz dla k+n = 11 → k = 11−n

	n 11−n
Rozwiąż		= 56.

zadanie:

n!
	=56 i jak to dalej obliczyc?
(11−n)!*(2n−11)!

Trivial: Odgadnąć wynik. Można wywnioskować, że n > 11−n → 2n > 11→ n ≥ 6 oraz 11−n > 0 → n < 11 Łącząc mamy tylko kilka przypadków do sprawdzenia: { 6, 7, 8, 9, 10 }.

zadanie: ?

zadanie: ok dziekuje

zadanie: a jeszcze takie zadanie wspolczynnik przy x⁴ w rozwinieciu dwumianowym wyrazenia (ax+2a)ⁿ jest rowny 10a⁵. wyznacz n.

n k
	an−kxn−k2kak czyli n−k=4 →k=n−4

i co dalej bo tam jest rowne 10a⁵?

zadanie: ?

Trivial: n = 5, gdyż (ax + 2a)ⁿ = aⁿ(x+2)ⁿ → jedyną możliwą opcją jest n = 5. Pozostało sprawdzić,

	5 4
czy		*2 równe jest 10

zadanie: jest rowne dziekuje

Mila: Zadanie poprzednie : n=8 k=5 zadanie 2

	n k
10a5=		an*2k

n=5 k=1

zadanie: wspolczynnik przy x¹⁷ w rozwinieciu dwumianowym wyrazenia (x³−x)ⁿ jest rowny 21. wyznacz n.

n k
	x3n−3k(−1)kxk wiec

	3n−17
3n−2k=17 stad k=		jak wyszedl ulamek to obliczenia beda skomplikowane?
	2

zadanie: i jeszcze wyszlo mi ze n≥6 i n≤17

zadanie: jezeli to rowna sie 21 to k musi byc parzyste

zadanie: czyli k∊{0,2,4,6,8,10,12,14,16) i mam tak po kolei sprawdzac k i n?

Basia: a może tak

	n k
(x3−x)n = [x(x2−1)]n = xn*(∑k=0,...,n		*x2k*(−1)n−k)

stąd n+2k = 17 i k musi być parzyste n = 17−2k 17−2k ≥ 1 16 ≥ 2k k ≤ 8 no i masz do sprawdzenia tylko k=0,2,4,6,8 ponadto n = 17−2k ≥ k 3k ≤ 17 k < 6 no to już zostało tylko k=0,2,4

(17−2k)!
	= 21
k!(17−3k)!

zadanie: dziekuje

Mila:

7 2		7 5
	=		=21

k− parzyste⇔ n=7 i k=2 spr. (x³−x)⁷=x²¹−7x¹⁸*x+21x¹⁵*x²+...

zadanie: dziekuje