poprawka sierpień pomoc Justyna: niewiem czemu to zadanie zalicza sie do ciagów Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1. tak mila pamietam

Saizou : 13:4=3 r.1 17:4=4 r.1 . . . 97:4=24 r.1 zauważ że jest to ciąg arytmetyczny o r=4 a₁=13 i a_n=97

pomoc Justyna: Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Saizou : a₁=3 a_n=a₁+(n−1)r a₄=a₁+(4−1)r=a₁+3r 15=3+3r 12=3r r=4 a₁=3 a₂=7 a₃=11 a₄=15 a₆=19 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− wszystko dodać i gotowe

Piotr: a₁=3 a₄=15 a_n=a₁+(n−1)r a₄=3+(4−1)r 15=3+3r 12=3r r=4 Teraz korzystam ze wzoru na Sume poczatkowych n wyrazow ciagu arytmetycznego:

	2a1+(n−1)r
Sn=		*n
	2

Podstawiam do wzoru

	2*3+(6−1)3
S6=		*6
	2

	6+15
S6=		*6
	2

S₆=63

pomoc Justyna: 15=3+3r 12=3r r=4 skąd się to wzięło?

Piotr: Juz mowie Masz ogolny wzór ciągu a_n=a₁+(n−1)r I teraz za ''n'' wstawiam 4 i otrzymuje a₄=a₁+(4−1)r Wiem ze wyraz czwarty wynosi 15 a pierwszy wyraz 3 a wiec wstawiam: 15=3+3r

Mila: Zadanie 1. 10− najmniejsza liczba dwucyfrowa 99− największa liczba dwucyfrowa 10:4=2+ r.2 11:4=2 +r.3 12:4=3+ r0 13:4=3+r.1 ⇔13−najmniejsza liczba dwucyfrowa , która dzieli się przez 4 z resztą 1 nastepna to o 4 większa , czyli 17 zatem a₁=13 pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r=4 Badasz która jest największa o tej własności 99:4=24+r.3 97:4=24+r1 a_n=97 największa liczba dwucyfrowa , która dzieli się przez 4 z resztą 1 Trzeba obliczyć, ile jest takich liczb Wzór na a_n; a_n=a₁+(n−1)*r 97=13+(n−1)*4 Rozwiąż, po kolacji sprawdzę Potem oblicz sumę:

	a1+an
Sn=		*n
	2

pomoc Justyna: an=a1+(n−1)*r 97=13+(n−1)*4 97/13+(n−1)*4 7,4*4=29,6

	4+1
S7,4		*7,4
	2

	5
s7,4		*50
	2

s_7,4+10*7,4 s_7,4=74

pomoc Justyna: 97=13+(n−1)*4 97/13+(n−1)*4 7,4*4=29,6

	4+1
S29,6
	2

	5
S{29,6}
	2

S_29,6+2,5*29,6 S_29,6=74

Mila: Oj, źle, to policzyłaś. Liczba wyrazów nie może być ułamkowa. Na klasówce możesz wypisac i policzyć, ale to sporo czasu zajmie. 13,17,21,25,29,33,37, itd az do 97 albo metoda prób i błędów, możesz podstawić za n liczbę całkowitą, szacujesz , że to będzie np 20 97=13+(20−1)*4 to bęzie za mało i tak w końcu trafisz. Lepiej naucz się rozwiązywać równania. Teraz równanie. Działaniem odwrotnym do dodawania jest odejmowanie, do mnożenia dzielenie i na odwrót. 97=13+(n−1)*4⇔najpierw wymnożymy z prawej strony 97=13+4n−4 redukcja 97=9+4n /−9 97−9=9−9+4n 88=4n /:4 n=88:4 n=22

	13+97
S22=		*22
	2

dokończ

pomoc Justyna: 97=13+(n−1)*4⇔najpierw wymnożymy z prawej strony 97=13+4n−4 redukcja 97=9+4n /−9 97−9=9−9+4n 88=4n /:4 n=88:4 n=22

	13+97
S22=		*22
	2

	110
S22=		*22
	2

S₂₂+55*22 S₂₂=1210

Mila: Teraz Justynko, zrób samodzielnie to drugie, masz myśleć i radzić sobie . Napisz tu po kolei.

pomoc Justyna: a1=3 a4=15 an=a1+(n−1)r a4=3+(4−1)r 15=3+3r 1 2=3r r=4

Mila: Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu. a₁=3 a₄=15 15=3+(4−1)*r 15=3+3r 12=3r /:3 r=4 dobrze obliczyłaś, mało wyrazów to możesz obliczyć na piechotę a₂=3+4=7, a₃=7+4=11 dalej a₅=15+4=19 a₆=19+4=23 albo ze wzoru na a_n: a₆=a₁+(6−1)*r a₆=3+5*4=23 Teraz oblicz sumę tych 6 wyrazów, dwoma sposobami: "na piechotę" i z wzoru.

pomoc Justyna:

	2a1+(n−1)r
Sn=		*6
	2

	2*3+(6−1)3
S6=		*6
	2

	6+15
S6=		*6
	2

S₆+10,5*6 S₆=63

Mila: 3+7+11+15+19+23=78 Szukaj błędu w Twoim obliczeniu. Popraw Lepiej skorzystać z wzoru

	a1+a6
s6=		*6
	2

pomoc Justyna: musze iscq teraz mala wykompac i polozyc ja spac wrócę za godzinę to dokończę.

Mila: Spokojnie.

pomoc Justyna:

	a1+a6
S6=		*6
	2

	3+23
S6=		*6
	2

	26
S6=		*6
	2

S₆+13*6 S₆=78

Mila: Bardzo dobrze.

pomoc Justyna: super wytlumaczone. bo samo rozwiązanie to za mało. w końcu doszłam do takiego wniosku

Mila: No to do jutra. Dobranoc

pomoc Justyna: dzięki, dobranoc papa

pomoc Justyna: . W dziesięciowyrazowym ciągu arytmetycznym suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 15, a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 25. Wyznacz ten ciąg.

bezendu: a więc nieparzyste: a₁ ,a₃, a₅, a₇,a₉ parzyste: a₂, a₄, a₆,a₈, a₁₀ a₁+a₁+2r+a₁+4r+a₁+6r+a₁+8r=15 a₁+r+a₁+3r+a₁+5r+a₁+7r+a₁+9r=25 5a₁+20r=15 5a₁+25r=25 a₁+4r=3 /(−1) a₁+5r=5 −a₁−4r=−3 a₁+5r=5 r=2 a₁+8=3 a₁=−5 a_n=−5+(n−1)*2 a_n=−5+2n−2 a_n=2n−7

Mila: Bardzo ładnie.

bezendu:

pomoc Justyna: Mila: mozesz dać jakieś zadania z ciągu arytmetycznego?

Mila: Rozumiesz wszystko, co napisał BEZENDU? Oblicz sumę liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3. Teraz u mnie kolacja. Będę później.

pomoc Justyna: tak robilam podobne zadanie dotego bez patrzenia na wpis bezendu:

pomoc Justyna: a1 = 12 r = 3 an = 99 3n + 9 = 99 3n = 99 − 9 = 90 / : 3 n = 30 zatem

	a1 + a30
S30 = 0,5*		*30
	2

	12 + 99
S30 =0,5*
	2

S₃₀+15*112 S₃₀= 1680

bezendu: a₁=12 a₂=15 r=a₂−a₁=15−12=3 a_n=99 12+(n−1)*3=99 12+3n−3=99 3n=90 n=30

	a1+an
wzór jest taki Sn=		*n
	2

	12+99
S30=		*30=1665
	2

Mila: Justynko, popraw wzór, nie wiem skąd taki wytrzasnęłaś. Bezendu dobrze. Zadania dla Justyny. http://www.zadania.info/d797/1

5-latek: Justynko nie mozesz tak robic , Chodzi mi o ten wzor ktory napisalas

	a1+an
Wzor jest taki jak napisal bezendu czyli Sn=		*n
	2

	1
Teraz zobacz Mozesz zapisac to ale tak Sn=		(a1+an)*n oczywiscie 1/2=0,5
	2

	a1+an
Dlaczego tak . W tym wzorze mamy iloczyn dwoch czynnikow . Jeden czynnik to		a
	2

	a1+an
drugi czynnik to n . Zajmijmy sie teraz pierwszym czynnikiem czyli		Co tu mamy ?
	2

Mamy tu dzielenie przez 2 . Wiemy ze dzielenie mozemy zastapic mnozeniem przez odrotnosc

	1
dzielnika . Tutaj dzielnikiem jest 2 . Liczba odwrotna do 2 jest		. tak samo jak
	2

	1		3		5
liczba odwrotna do 7 jest		a liczba odwrotna do		jest		. No to teraz
	7		5		3

	a1+an		1
nasz czynnik		=		(a1+an) . Drugiego czymnika n nie ruszamy bo z nim nic nie
	2		2

	1
zrobimy wiec nasz wzor na Sn bedzie taki po przeksztalceniu Sn=		(a1+an)*n bez
	2

tej 2 w mianowniku co napisalas Wiec takm jak CI kazala Mila popraw ten wzor

pomoc Justyna: S₃0U{a1 + a30}*n

	12 + 99
S30=		*30
	2

S30+55,5*30 S30= 1665

pomoc Justyna: Liczby 2,x− 3,8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x . 2=a₁ x−3=a₂=a₁+r=2+r⇒ r = − 5 x 8=a₄=a₁+3r=2+3(x−5)

pomoc Justyna: 8=2+3x−15 21 / 3x ⇔ x−7

Janek191: 2, x − 3, 8 Mamy a₁ = 2 a₂ = x − 3 a₄ = 8 więc r = a₂ − a₁ = x − 3 − 2 = x − 5 oraz a₄ = a₂ + 2 r ⇒ 8 = ( x − 3) + 2*( x − 5) ⇒ 8 = x − 3 + 2 x − 10 ⇒ ⇒ 3 x = 8 + 3 + 10 ⇒ 3 x = 21 ⇒ x = 7 Odp. x = 7 ========

pomoc Justyna:

	y+3
−y+
	2

−2y=y+3 ⇒ y = −1 różnica ciągu r=a₄ − a₃= 3−1=2 a₁=a₂ − r =(−1) − 2 = − 3

pomoc Justyna: Do wyżej obliczonego zadania zadania Liczby x,y,−y ,3 są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Znajdź liczbę x .

Mila: Tylko masz literówkę w zapisie:

	y+3
−y=		/*2
	2

−2y=y+3 /−y −3y=3⇔y=−1 Mamy teraz ciąg: x, −1 , 1 , 3 r=3−1=2 a₁=x=−1−2=−3

pomoc Justyna: Dla pewnych liczb x,y wartości wyrażeń x + y , 4x − y , 3x + 4y + 1 , 9x − 4y + 1 są początkowymi, kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz, ile początkowych wyrazów tego ciągu należy wziąć, aby ich suma była większa od 20100. tego nie umiem. za skomplikowane to

Mila: To trudniejsze zadanie, zrobisz tylko część, wrócimy do niego, gdy się trochę poduczysz. a₁=x+y a₂=4x−y a₃=3x+4y+1 a₄=9x−4y+1

	x+y+3x+4y+1
1) 4x−y=		⇔
	2

2*(4x−y)=4x+5y+1⇔4x−7y=1

	4x−y+9x−4y+1
2)3x+4y+1=		⇔
	2

2*(3x+4y+1}=13x−5y+1⇔6x+8y+2=13x−5y+1 −7x+13y=−1 1) Masz rozwiązać układ 4x−7y=1 −7x+13y=−1 2) potem oblicz a₁, a₂ i r

Mila: następne zadanie Liczby x,y,19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8 . Oblicz x i y .

bezendu: znasz taki wzór: a₂−a₁=a₃−a₂ korzystam z tego wzoru: 4x−y−(x+y)=3x+4y+1−(4x−y) a₂−a₁=a₃−a₂ 3x+4y+1−(4x−y)=9x−4y+1−(3x+4y+1) a₃−a₂=a₄−a₃ 4x−y−x−y=3x+4y+1−4x+y 3x+4y+1−4x+y=9x−4y+1−3x−4y−1 3x−2y=−x+5y+1 −x+5y+1=6x−8y 4x−7y=1 −7x+13y=−1 dalej już chyba sobie poradzisz ?

Janek191: a₁ = x + y a₂ = 4 x − y a₃ = 3 x + 4 y + 1 a₄ = 9 x − 4 y + 1 Ma być: a₂ − a₁ = a₃ − a₂ ∧ a₃ − a₂ = a₄ − a₃ czyli ( 4 x − y) − ( x + y) = (3 x + 4 y + 1) − ( 4 x − y) ( 3 x + 4 y + 1) − ( 4 x − y) = (9 x − 4 y + 1) − ( 3 x + 4 y + 1) −−−−−−−−− 3 x − 2y = − x + 5y + 1 − x + 5 y + 1 = 6 x − 8 y −−−−−−−− 4 x − 7 y = 1 / * 7 − 7 x + 13 y = − 1 /* 4 −−−−−−−−−− 28 x − 49 y = 7 −28 x + 52 y = − 4 −−−−−−−−−− dodajemy stronami 3 y = 3 y = 1 ==== 28 x − 49*1 = 7 28 x = 49 + 7 = 56 x = 2 ==== Mamy zatem a₁ = x + y = 2 + 1 = 3 a₂ = 4 x − y = 8 − 1 = 7 a₃ = 3 x + 4 y + 1 = 6 + 4 + 1 = 11 a₄ = 9 x − 4 y + 1 = 18 − 4 + 1 = 15 więc r = 7 − 3 = 11 − 7 = 15 − 11 = 4 Korzystamy z wzorów: a_n = a₁ + ( n −1)*r i S_n = 0,5*( a₁ + a_n)*n Mamy a_n = 3 + ( n − 1)*4 = 3 + 4 n − 4 = 4 n − 1 oraz S_n = 0,5*( 3 + 4n − 1)*n = 0,5*( 4 n + 2)*n = ( 2 n + 1)*n Ta suma ma być > 20 100 czyli (2 n + 1)*n > 20 100 = 201*100 ⇒ n > 100 ===================================== lub ( 2 n + 1)*n > 20 100 2 n² + n − 20 100 > 0 Δ = 1 − 4*2*( − 20 100 ) = 1 + 160 800 = 160 801 √Δ = 401

	−1 + 401
n =		= 100
	4

a = 2 > 0 więc 2 n² + n − 20 100 > 0 ⇔ n > 100 ========================================== Należy dodać więcej niż 100 wyrazów tego ciągu.

pomoc Justyna: 4x−7y=1 −7x+13y=−1 2) potem oblicz a1, a2 i r 4_x − 7_y = 1 7_x − 13_y = 1 /−2 4_x − 7_y = 1 / +4 − x + y = −1 −3_y = −3 −x + y = −1 r= −3 a1=−1 a2=−4

pomoc Justyna: Liczby x,y,19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8 . Oblicz x i y 2_y + x + y= x + 19 + 8 27 / 3y y = 9 x = 8 − 9 = −1

5-latek: jesli chodzi o to z godz 12.34 to Janek ci to rozwiazal metoda przeciwnych wspolczynnikow . Ty obliczylas zle Co to tam narobilas Do metody przeciwnych wspolczynnikow wspolczynniki ktore beda przy x albo y musza byc jednakowe i musza miec przeciwne znaki ty napisalas tak 7x−13y=1/(*−2) to bedzie −14x+26y=−2 4x−7y=1/(*4) to bedzie 16x−28y=4 czy masz jednakowe wsplczynniki z przeciwnym znakiem albo przy x albo przy y . Nie . Wiec taka uwaga . Jesli nie czujesz tej metody to rozwiazuj takie rownania metoda podstawiania . Teraz zadanie nr 1 napisz skad wzielas te rownania i czy to rozumiesz .

5-latek: chodzi o zadanie z 13.05 czy to rozumiesz

pomoc Justyna: Liczby x,y,19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8 . Oblicz x i y 2_y = x +19 x + y=8 2y + x + y= x + 19 + 8 27 / 3y y = 9 x= 8 − 9 = −1

5-latek: Moze rozwiazuj sobie to tak Z drugiego wyznaczam np x i mam x=8−y i teraz to wyliczone x podstaw do 1 rownania i mamy 2y=8−y+19 to 3y=27 to y=9 wiec x=8−y to x=8−9=−1 I teraz popatrz. Te wyrazy maja tworzyc ciag arytmetyczny Ciag arytmetyczny to jest taki ciag gdzie roznica r pomiedzy wyrazem nastepnym a wyrazem go poprzedzajacym jest stala czyli a₂−a₁=r i tak samo a₃−a₂=r u nas a₁=−1 a₂=9 i a₃=19 Sprawdzamy a₂−a₁=9−(−1)=10 a₃−a₂=19−9=10 jest ok teraz wypisz jescze 5 kolenych wyrazow tego ciagu. Poza tym wytlumacz skad wyszlo CI to rownanie 2y=x+19 −−−ono jest dobre . tylko skad ?

pomoc Justyna: bo patrz Liczby x,y,19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8 . Oblicz x i y w zadaniu masz x,y,19 tu masz 1y x + y = 8 a tu 2 i dlatego takie równanie 2y=x+19

bezendu: 2y=x+19 x+y=8 x−2y=−19 x+y=8 / *2 x−2y=−19 2x+2y=16 3x=−3 x=−1 −1+y=8 y=9 x=−1 y=9

Eta: x,y,19 −−−tworzą ciąg arytm i x+y=8 ⇒y= 8−x ciąg arytm : x, 8−x+19 to z def. ciągu arytm 2(8−x)=x+19 ⇒ 16−2x=x+19 ⇒ x= −1 to y= 8−(−1)= 8+1=9 odp: x= −1 , y= 9

5-latek: Justyna to rownanie 2y=x+19 wzielo sie stad ze mamy twierdzenie o 3 kolejnych wyrazach ciagu arytmetycznego . Mowi onao nam z ewyraz srodkowy = sredniej arytmetycznej wyrazow skrajnych U nas wyrazem srodkowym bedzie y a skrajnymi x i 19 wiec na mocy tego twierdzenia mozemy

	x+19
zaoisac ze y=		i jesli pomnozymy obie strony rownania przez 2 zeby pozbyc sie
	2

mianownika to dostaniemy 2y=x+19 stad wlasnie to rownane

5-latek: . Dobry wieczor Eta . jednak w rozowym CI najlepiej do twarzy

bezendu: Eta dawno Cię na forum nie było ( dokładnie 8 dni) wakacje ?

Eta: Dobry wieczór Byłam na zasłużonym wypoczynku