Całki, ekstrema, działania różniczkowe Dawiop: Witam. Mam przykładowe zadania egzaminacyjne. Przerobiłem wiele przykładów, ale te nie umiem rozwiązać. 1) Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi. Tutaj nie wiem jak wyliczyć te krzywe bo dalej to dobra całka oznaczona(chyba) i liczymy. y=x oraz y=√x 2) Obliczyć ekstrema lokalne x²+8y−6xy 3) Obliczyć całkę podwójną A=(0,0), B=(0,2), C=(2,0) ∫∫(2−x−y)dxdy 4) Obliczyć y'(x)+y(x)=0 y(0)=2 Z góry dziękuję za pomoc.

wredulus_pospolitus: raczej miało być 'tych' 1) jak to jak ... y=x ... prosta przechodząca przez (0,0) i nachylona pod kątem 45^o y = √x to także jeden ze standardowych wykresów 2) jest 'procedura' rozwiązywania −−− znajdź ją i zastosuj ... jak będziesz miał problemy to przyjdź z konkretnym pytaniem 3) no i w czym jest problem narysuj sobie ten trójkąt ... jedną zmienną 'parametryzujesz' drugą i 'jedziesz' 4) y' + y = 0 dy/dx = −y

	dy
−		= dx
	y

i obliczasz później tylko podstawiasz warunek początkowy, aby wyznaczyć wartość C

Dawiop: A więc tak. 1) Wyszło mi do obliczenia ∫ w granicach od 0 do 1 (√x−x)dx I teraz rozbiłem to na 2 całki ∫(√xdx − ∫xdx=2/3*x⁽3/2) − x +c. Jak podstawiłem granicę całkowania to mi wyszło (2/3*1⁽3/2)−1)−0 i wynik wyszedł mi ujemny −1/3. Więc coś mam nie tak. 2) Obliczyłem f'x=2x−6y f'y=8−6x Przyrównałem do 0. 2x−6y = 0 8−6x = 0 Z drugiego mi wyszło że x=4/3 Podstawiłem do 1 wzoru i wyszło y=4/9. Nie wiem czy mam dobrze i teraz jakoś trzeba wyznacznik policzyć. Więc policzyłem: f''xx=2 f''yy=0 mieszane wyszły −6 oby dwie czyli dobrze. W=−36. Powiedz mi czy dobrze to liczę i co dalej? 3) No właśnie narysowałem trójkąt tak jak na rysunku jednak nie wiem jak to podstawić do tej całki. 4) Kompletnie nie umiem.

Dawiop: x^3/2

Nienor: Pierwsze. Obszar, który masz policzyć, to ten z czerwonymi kreskami. Zauważ (oblicz): x∊[0,1] y∊[x,√x] I albo liczysz całkę: ∫¹₀ dx ∫^√x_x dy= ∫¹₀

	2		1
(√x−x)dx=		x32−		x2]10=
	3		2

2		1		4		3		1
	−		=		−		=
3		2		6		6		6

Błąd: policzyłeś: ∫x dx=x

Nienor: Drugie. Procedura wygląda tak: 1.Liczysz F_x, F_y (pochodne cząstkowe) 2.Wznaczasz miejsca, kiedy F_y się zeruje i usuwasz je z dziedziny rozwiązań. 3.Sprawdzasz kiedy się zeruje F_x 4.To co ci wyszło z punktu 3 wstawiasz do równania F(x,y)=0 5.Sprawdzasz, czy wyniki z punktu 4 nie odpadają przy punkcie 2. 6.To co nie odpadło to twoje ekstremum. Podstaw do pochodnej i zobacz jakie. (Lub stprawdź jaki ma znak w tym punkcie F_y, jeżeli ujemny to makismum, jeżeli dodatni to minimum)

Nienor: Trzecie. Widać, że: x∊[0,1] prosta BC: y=−x+2 y∊[0,−x+2]

	1
I=∫10 dx ∫−x+20 (2−x−y)dy= ∫10[ (2−x)(−x+2)−		(2−x)2 ] dx=
	2

	1		1		1
∫10 [ (2−x)2−		(2−x)2 ]dx= ∫10		(2−x)2 dx = ∫10(2−2x+		x2)dx=
	2		2		2

	1		1		7
−x2+		x3]10+2=−1+		+2=
	6		6		6

Sprawdź obliczenia, bo nie ręczę, że nie ma błędu.

Nienor: Czwarte. Jak pokazał Artur:

	dy
y'+y=0 ⇔		=−dx
	y

Dokładasz całki:

	dy
∫		=−∫dx
	y

ln|y|=−x+ln|C|, C∊ℛ\{0} y=Ce^−x Co można było powiedzieć od razu, korzystając z algorytmu rozwiązywania rówania różniczkowego liniowego jednorodnego II rzędu o stałych współczynnikach. Musisz naprawdę dużo popracować, jak masz w najbliższym czasie egzamin, bo ja nie zaczęłam się uczyć, a ciężko mi sobie wyobrazić prostsze zadania z tych zagadnień.