całka 1/cosx jarek:

	1
Chciałbym policzyć całkę z		dx domyślam się że powinno być przez podstawienie ale nie
	cosx

umiem tego zrobić. Mógłby ktoś to rozpisać, interesuje mnie sposób wykonania.

Rafał28: t = sin x dt = cosx dx

1		1
	=		* cos x
cos x		1 − sin2x

jarek: Czyli wynik będzie arcctgh(sinx) ?

Rafał28: Po podstawieniu:

	1		1		1+t
∫		dt =		ln		+ C
	1 − t2		2		1−t

Można z wzoru na

	1		1		a+x
∫		dx =		ln		+ C ,a>0, |x| ≠a
	a2 − x2		2a		a−x

lub rozkład na ułamki proste

	1		A		B
∫		dt = ∫		dt + ∫		dt +
	1 − t2		1−t		1+t

Janek191: Założenie: cos x ≠ 0

	π
Stosujemy wzór: cos x = sin (		+ x)
	2

zatem

	dx		dx
∫		= ∫
	cos x		π   sin( + x)   2

Podstawienie:

π
	+ x = u
2

więc dx = du czyli

	dx		du
∫		= ∫
	cos x		sin u

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Teraz trzeba obliczyć całkę

	dx		dx		dx
∫		= ∫		= ∫
	sin x		2 sin 0,5x cos0,5x		2 tg0,5 x*cos2 0,5 x

Podstawienie tg 0,5 x = u więc

dx
	= du
2 cos2 0,5x

czyli

	dx		du
∫		= ∫		= ln I u I + C
	sin x		u

i dlatego

	dx
∫		= ln I tg 0,5 x I + C
	sin x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Wracamy do całki

	dx		du
∫		= ∫		= ln I tg 0,5 u I + C = ln I tg 0,5*( 0,5 π + x) I + C =
	cos x		sin u

	π		x
= ln I tg (		+		) I + C
	4		2

==========================

jarek:

	1		1+t
Rafal 28 w jaki sposób przeszedłeś do		ln
	2		1−t

	1
Jak mam postać		to korzystam że jeśli licznik jest pochodną mianownika to wynik
	1−t2

	1		−2		1
całki to ln z mianownika a więc −		*		=−		ln(1−t2) i za t podstawiam
	2		1−t2		2

sinx

jarek: jednak źle zrobiłem to ale nie wiem jak zrobić tak jak Rafal28

Rafał28: Zastosowałem wzór, który opisałem wyżej (jeszcze moduł powinien obejmować ułamek logarytmu) Warto jeszcze dodać, że:

1		1 + t		1		1 + sin x
	ln |		| + C=		ln |		| + C =
2		1 − t		2		1 − sin x

	1 + sin x		cos x
ln |(		)1/2 |+ C = ln|(		)| + C =
	1 − sin x		1 − sin x

Po podstawieniu sin x = √1 − cos²x i usunięciu niewymierności z mianownika mamy:

	1 + sin x		π		x
ln|(		)| + C = ln|(sec x + tg x)| + C = ln|(tg(		+		)| + C
	cos x		4		2