Indukcja matematyczna pepe: Szybkie pytanie: Może ktoś dać jakąś wskazówkę, jak ruszyć takie zadanie: Wykaż, że dla n ≥ 3 nⁿ⁺¹ > (n+1)ⁿ założenie i teze rozpisałem, mam coś takiego: (n+1)ⁿ⁺² > (n+2)ⁿ⁺¹ I nie mam pomysłu, co zrobić. Może mnie ktoś popchnąć?

pepe: PLS, HLP!

Nienor: cicho, właśnie próbuję coś wymyślić

Trivial: Nie ma potrzeby indukcji... Załóżmy, że nⁿ⁺¹ > (n+1)ⁿ, skąd mamy: (n+1)ln(n) > nln(n+1) n(ln(n) − ln(n+1)) > −ln(n) /*(−1) n(ln(n+1)−ln(n)) < ln(n)

	1
nln(1+		) < ln(n)
	n

	1
ln(1+		)n < ln(n). (A)
	n

	1
(1+		)n jest ograniczony od góry przez liczbę e, zatem dla n ≥ 3 równanie (A) jest
	n

spełnione. Dodatkowo wszystkie przekształcenia są odwracalne (wzajemnie jednoznaczne), więc teza została dowiedziona.

Nienor: Trivial to cały bajer jest w indukcji

Trivial: Można nawet szybciej... nⁿ⁺¹ > (n+1)ⁿ /: nⁿ

	1
n > (1+		)n ← prawda dla n ≥ 3
	n

Zatem OK.

Monic:

	n
n(n+1)> (n+1)n jest równoważne n*(		)n>1
	n+1

	n+1
analogicznie z założenia mamy (n+1)*(		)n+1>1
	n+2

	n+1		n
prawdą jest, że		>
	n+2		n+1

	(n+1)2
i że n <
	n+2

Stąd mamy

	n		n+1		(n+1)2		n+1		n+1
1<n*(		)n<n*(		)n<		*(		)n = (n+1)*(		)n+1
	n+1		n+2		n+2		n+2		n+2