Ciag Nie umiem:

	n + 20
Dany jest ciag en o wzorze ogolnym en =		. Wyznacz takie dwa wyrazy tego ciagu,
	n

	1
ktorych roznica jest rowna −3		.
	3

Dosc sporo sie nad tym glowilem i poza znalezieniem takich dwoch wyrazow "na piechote" (tu akurat nie trzeba dlugo szukac) niestety nic nie wymyslilem. Czy jest jakis inny sposob na ich wyznaczenie?

wredulus_pospolitus:

	n+20		20
en =		= 1 +
	n		n

	10
en − em = −
	3

	20		20		10
1+		− 1 −		= −
	n		m		3

20m−20n		10
	= −
n*m		3

n−m		1
	=
n*m		6

6(n−m) = n*m 6n − 6m = n*m 6n = m*(n+6)

6n
	= m
n+6

rysujesz:

	6x		36
y =		= 6 −
	x+6		x+6

i wyznaczasz takie pary x,y ∊N₊, które leżą na tej hiperboli

wredulus_pospolitus: albo bez rysowania

	36
y = 6 −		<−−− stąd wiesz, że:
	x+6

x+6 musi dzielić 36 −−− x=36−6 = 30 lub x= 18−6 = 12 lub x=12 − 6 = 6 lub x=9 − 6 = 3 iii tyle

PW:

	20
en=1+		, więc dla dowolnych naturalnych k,m≥1 jest
	n

	10		20		20		10
(1) ek−em=−		⇔		−		=−		⇔
	3		k		m		3

	1		1		1
⇔		−		=−		⇔(k−m)•6=km
	k		m		6

Liczby k i m w ostatniej równości są naturalne, więc lewa strona jest liczbą dodatnią, mniejszą od 6k. Oznacza to, że m<6. Sprawdzamy: − dla m=1 równanie ma postać (k−1)•6=k•1 ⇔ 6k−6=k⇔ 5k=6 − nie ma takiej liczby naturalnej − dla m=2 równanie ma postać (k−2)•6=k•2 ⇔ 6k−12=2k⇔ 4k=12 ⇔ k=3 − dla m=3 równanie ma postać (k−3)•6=k•3 ⇔ 6k−18=3k⇔ 3k=18 ⇔ k=3 − równa m − dla m=4 równanie ma postać (k−4)•6=k•4 ⇔ 6k−24=4k⇔ 2k=24 ⇔ k=12 − większa od m − dla m=5 równanie ma postać (k−5)•6=k•5 ⇔ 6k−30=5k⇔ k=30 − większa od m Pokazaliśmy, że jedyną parą liczb naturalnych, taką że k>m, dla której wyrazy ciągu spełniają równanie (1) jest k=3, m=2.

PW: No i bęc. Przeprowadziłem dobre rozumowanie, a wniosek idiotyczny. Właśnie miały być k>m, a więc równanie spełniają trzy pary: (3, 2), (12, 4) i (30, 5). Sprawdzenie: (3−2)•6=3•2 (12−4)•6=12•4 (30−5)•6=30•5

poprostu:

	20		20
en = 1 +		, en+1 = 1 +
	n		n + 1

	10
en + 1 − en = −
	3

	20		20		10
1 +		− 1 −		= −
	n + 1		n		3

−20		−10
	=
n(n + 1)		3

n² + n − 6 = 0 i n∊N₊, n = 2

	1
e3 − e2 = −3
	3

PW: @poprostu A dlaczego założyłeś, że mają to być sąsiednie wyrazy e_n+1 i e_n? Nie ma tego w treści zadania. Pozornie jest w porządku, polecenie brzmiało "wyznacz takie dwa wyrazy

	10
ciągu, których różnica jest równa −		". Udało się przez przypadek, bo akurat istnieją
	3

takie dwa sąsiednie. Na podstawie nieuprawnionego założenia udało się uzyskać jeden z poprawnych wyników. Autor postu pytał jednak o co innego − jedną parę znalazł "na piechotę" i chciał wiedzieć, czy można to zrobić innym sposobem − w domyśle jak wyznaczyć wszystkie możliwe pary.

poprostu: Ok. No to jeszcze raz i teraz porządnie.

	20		20
en = 1 +		, en+k = 1 +		, k∊N+, n∊N+,
	n		n + k

	−10
en+k − en =
	3

	√k2 + 24k − k
stąd n2 + kn − 6k = 0, Δ = k2 + 24k, n =
	2

(drugie rozwiązanie odrzucamy, bo jest ujemne).

	√k2 + 24k − k		√k2 + 24k + k
dla k→∞ lim (		*		) = 6
	2		√k2 + 24k + k

czyli n∊{1, 2, 3, 4, 5}

	√k2 + 24k − k		n2
jeśli n =		, to k =
	2		6 − n

	1
dla n = 1: k =		∉N
	5

	22		−10
dla n = 2: k = 1, n + k = 3, e3 − e2 = U{23}[3} −		=
	2		3

	26		23		−10
dla n = 3: k = 3, n + k = 6, e6 − e3 =		−		=
	6		3		3

	32		24		−10
dla n = 4: k = 8, n + k = 12, e12 − e4 =		−		=
	12		4		3

	50		25		−10
dla n = 5: k = 25, n + k = 30, e30 − e5 =		−		=
	30		5		3

Są cztery pary liczb spełniające warunki zadania

PW: Tak! Masz rację. Widzę teraz mój następny błąd 23.06. o 16:02 − wyciągnąłem wniosek, że 3k=18 ⇔k=3 (!) . To wina "kopiuj−wklej" − z lenistwa kopiuje się poprzedni wiersz, a potem zapomina zmienić dane. W ten sposób zgubiłem parę (6,3). Swoją drogą − niewinne zadanie, na poziomie szkolnym, a jak trzeba uważać, żeby rozwiązać je poprawnie i dobrze opisać sposób myślenia.