Całka Patrycja: Czy ktoś pomoże policzyc calke ∫ x³/1−x³. Bardzo prosze o pomoc bo mecze sie z ta calka juz ponad godzine...., i bardziej mnie interesuje rozwiązanie a nie wynik. Z góry dziekuje

AS: Błędny zapis funkcji podcałkowej

Patrycja: dlaczego błędny?

ICSP: stopień licznika = stopniowi mianownika więc będziemy wyciągać(bądź dzielić, zależy od metody któą znasz)

	x3		x3		x3 − 1
∫		dx )domyślam się ze pod dx) = − ∫		dx = −∫		dx −
	1−x3		x3−1		x3 −1

	1
∫
	x3−1

	x3 − 1
I1 = −∫		dx = −∫dx = −x + C
	x3−1

	1
I2 = −∫		dx // x3 − 1 = (x−1)(x2 + x + 1)
	x3−1

1		A		Bx + C
	=		+
x3−1		x−1		x2 + x + 1

PO wymnożeniu wyliczysz A, B , C . Dalej to już będą proste całki

Patrycja: dotąd mam tylko w odp jest ze wynik jest z arctg a ja go nigdzie nie moge dostac...........

ICSP: no to jaki CI wyszły te współczynniki A,B,C

Patrycja: A=B=1/3 C= 1/3*2=2/3

Patrycja: Ogólnie gdzies pomijam ten arctg bo wychodzi mi stala i ten x i 2 logarytmy brakuje arctg i nie wiem gdzie robie blad

ICSP: nie możliwe aby wszystkie były dodatnie. Jak wróce za 30 min to napisze Ci rozwiazanie

ICSP:

	Bx + C
arctg będzie z całki
	x2 + x + 1

Patrycja: napisalam mniej wiecej skladniki bez czynnikow tylko

Patrycja: domyslam sie ze z tej

ICSP:

	1
∫		dx = ...
	x3 −1

1		A		Bx + C
	=		+
x3−1		x−1		x2 + x + 1

1 = Ax² + Ax + A + Bx² + Cx − Bx − C 1 = (A+B)x² + (A − B + C)x + A − C A+B = 0 A−B+C = 0 A − C = 1 −2B + C = 0 −B − C = 1

	1		1		2
−3B = 1 ⇒ B = −		⇒ A =		⇒ C = −
	3		3		3

zatem

	1		1		1		1		x + 2		1
∫		dx =		∫		dx −		∫		dx =		ln|x−1|
	x3−1		3		x−1		3		x2 + x + 1		3

	1
−		I3
	3

	x+2
I3 = ∫		dx // jak zwykle najpierw liczę pochodną z mianownika : (x2 + x +
	x2 + x + 1

1)' = 2x + 1

	x+2		1		2x + 1		1		1
∫		=		∫		dx +		∫		dx =
	x2 + x + 1		2		x2 + x + 1		2		x2 + x + 1

	1		1		1
		ln|x2 + x + 1| +		∫		dx
	2		2		x2 + x + 1

	1
∫		dx //
	x2 + x + 1

	1		1		1   dx a		x		1
∫		dx =		∫		= t =		, dt =		dx =
	x2 + a2		a		x   ( )2 + 1   a		a		a

	1		dt		1		1		x
=		∫		=		arctg(t) =		arctg
	a		1 + t2		a		a		a

czyli :

	1		1		2
∫		dx = ∫		dx =
	x2 + x + 1		1   √3   (x + )2 + ( )2   2   2		√3

	2x+1
arctg(		)
	√3

Teraz wystarczy złozyć to wszystko w całość

Patrycja: dziekuje