nierownosci zadanie: prosilbym o sprawdzenie tych przykladow: a) n!≤(ⁿ⁺¹₂)ⁿ ; n∊N₊ 1^o spr. dla n=1; L=1; P=1;L≤P 2^o zal. ind. dla n=k: k!≤(^k+1₂)^k teza ind. dla n=k+1: (k+1)!≤(^k+2₂)^k+1 dowod: dla k∊N₊ (k+1)!=k!(k+1)≤(^k+1₂)^k(k+1) (^k+1₂)^k(k+1)≤(^k+2₂)^k+1

	(k+1)k+1		(k+2)k+1
		≤
	2k		2k*2

	(k+2)k+1
(k+1)k+1≤
	2

czy to wystarczy dla udowodnienia? bo nie wiem juz co dalej? b) (n!)²≥nⁿ; n∊N₊ 1^o spr. dla n=1; L=1; P=1;L≥P 2^o zal. ind. dla n=k: (k!)²≥k^k teza ind. dla n=k+1:((k+1)!)²≥(k+1)^k+1 dowod: ((k+1)!)²=(k!)²*(k+1)²≥k^k*(k+1)² k^k*(k+1)²≥(k+1)^k+1 k^k*(k+1)²≥(k+1)^k*(k+1) k^k*(k+1)≥(k+1)^k k^k+1+k^k≥(k+1)^k czy to wystarczy dla udowodnienia? bo nie wiem juz co dalej? mam nadzieje ze nie ma nigdzie bledu.

wredulus_pospolitus: a) nie ma jasno napisanego skąd wzięte zostało oszacowanie w drugiej linijce brak komentarza w pierwszej linijce ... że korzystasz z założenia indukcji matematyczne

wredulus_pospolitus: dobra ... już wiem jak to piszesz ... zmyliła mnie pierwsza linijka

wredulus_pospolitus: a) ale nadal ... gdzie wykazałeś że ta ostatnia nierówność jest spełniona ... patrząc w czysto laicki sposób (coś)^{jakieś potęgi} ma być nie większe niż 0,5*(coś+1)^{do tej samej potęgi} ... w klasie połowa ludzi by się nie chciała z tym zgodzić

Nienor: a) skąd:

	k+1		k+1		k+1
k!(k+1)≤(		)k(k+1) ⇔ (		)k(k+1)≤(		)k(k+1)
	2		2		2

Wiesz, że:

	k+1		k+1
k!≤(		)k, nie wynika, stąd, że jeśli k!≤a, to (		)k≤a
	2		2

A przynajmniej ja tego nie widzę.

zadanie: dziekuje a da sie udowodnic to jakos inaczej? a podpunkt b) jest dobrze?

zadanie: a czy w ogole dobrze zapisuje te udowodnienia?

zadanie: ?

zadanie: no i co dalej z tymi dowodami?

zadanie: czyli jak wykazac te dowody?

Vax: Najprościej z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:

n+1		n(n+1)		1+2+3+..+n
	=		=		≥ n√n!
2		2n		n

Podnosząc stronami do n'tej potęgi dostajemy tezę.

zadanie: do podpunktu a) 2(k+1)^k+1−(k+2)^k+1≤0; k∊N₊ i jak sie narysuje do tego wykres to bedzie widac ze wartosci sa niedodatnie a to oznacza ze nierownosc jest prawdziwa mozna tak zrobic? jest to wystarczajacy dowod?

zadanie: dobrze?

wredulus_pospolitus: sie narysuje to weź mi to narysuj (od ręki) ... bez programów

zadanie: a) a moze byc tak: 2(k+1)^k(k+1)≤(k+2)^k(k+2)

	(k+2)k(k+2)
2(k+1)≤
	(k+1)k

	(k+2)k(k+2)
2≤		{(k+1)}
	(k+1)k

(k+2)k+1
	≥2 licznik jest wiekszy od mianowmika a dla k=1 nierownosc jest
(k+1)k+1

prawdziwa wiec jest prawdziwa dla k∊N₊ dobrze?

zadanie: ?

zadanie: ?

zadanie: a to jest dobrze?

wredulus_pospolitus: a skąd wiesz że U{(k+2)^k+1}{(k+1)^k+1 ≥ 2 to oczywiście jest prawdą ... ale brakuje 'jednego' kroku do pełni szczęścia

zadanie:

	2
2 to inaczej		; licznik>2 a mianownik>1 o to chodzlo?
	1

wredulus_pospolitus: oczywiście że nie idac Twoim tokiem rozumowania

1000
	≥ 2 bo 1000>2 i 999>1 a to przecież jest jedna wielka bzduuuura
999

(k+2)k+1		k+2		1
	= (		)k+1 = (1 +		)k+1
(k+1)k+1		k+1		k+1

i teraz:

	1
ak = (1 +		)k+1
	k+1

a₁ = 2 a_k ... ciąg rosnący (musisz to wykazać ... ale jest to stosunkowo łatwe)

	1
i stąd wiesz, że (1 +		)k+1 ≥ 2
	k+1

zadanie: dziekuje

zadanie:

	1
ak−1=(1+		)k
	k

	1		1		k+2		k+1
ak−ak−1=(1+		)k+1−(1+		)k=(		)K+1−(		)k dalej nie wiem
	k+1		k		k+1		k

co mam zrobic?

zadanie: ?

wredulus_pospolitus: policz:

ak
	= ....
ak−1

zadanie:

	(k+2)k(k+2)kk
=		dalej nie wiem ?
	(k+1)2k(k+1)

zadanie: ?

zadanie: ?