ekstremum funkcji hp: Znaleźć ekstremum funkcji : x² − 2xy + 5y² − 2x + 4y + 1 = 0

AS: To co podałeś nie jest funkcją tylko równaniem. f(x,y) = x² − 2xy + 5y² − 2x + 4y + 1 Ekstrema funkcji wielu zmiennych Dana jest funkcja z = f(x,y) Warunek konieczny ekstremum w punkcie P(xo,yo) f ’x (xo,yo) = 0 i f ’y (xo,yo) = 0 Warunek wystarczający 1. f’x(xo,yo) = 0 i f’y(xo,yo) = 0 2. W(xo,yo) = f ’xx(xo,yo)*f ’yy(xo,yo) – [f ’xy(xo,yo)]² > 0 przy czym gdy f ’xx(xo,yo) < 0 w punkcie (xo,yo) maksimum lokalne gdy f ’xx(xo,yo) > 0 w punkcie (xo,yo) minimum lokalne Jeśli W(xo,yo) = 0 przypadek wątpliwy,badać osobno Jeśli W(xo,yo) < 0 w punkcie (xo,yo) brak ekstremum

aniabb: trudno elipsę nazwać funkcją

aniabb: powinno Ci wyjść min = −1/4 dla x=3/4 i y=−1/4 jeśli wyrzucimy to zero

hp: czyli nadal nie wiem o co chodzi

hp: czyli nadal nie wiem o co chodzi

hp: Czyli najpierw muszę obliczyć pochodną pierwszego stopnia dla x i dla y? Muszę to zrozumiem krok po kroku jak się robi.

aniabb: tak najpierw liczysz pochodną pierwszego stopnia dla x i dla y

hp: pochoda f(x) = 2x − 2 − 2 f(y) = −2 + 10y + 4 proszę sprawdzić i co dalej należy zrobić.

hp: proszę sprawdzić, pochodna dla f(x) = 2x − 2 − 2 f(y) = −2 +10y + 4

aniabb: f'(x) = 2x −2y −2 f'(y) = −2x+10y+4 teraz przyrównać do zera i rozwiązać taki układ

hp: czyli jak jest −2xy to pochodną jest −2y i na odwrót, okey, już się biorę. y = −4 x = 3

hp: czyli jak jest −2xy to pochodną jest −2y i na odwrót, okey, już się biorę. y = −4 x = 3

hp: czyli co należy dalej zrobić? lub jak to zapisać.

hp: nie wiem czy dobrze, ale policzyłem pochodną drugiego stopnia . ^d2_dx² = 2 ^d2_dy² = −2 + 10 = 8 teraz jeszcze jakieś pochodne należy liczyć?

hp: a więc coś wymyśliłem i wygląda to tak. x² − 2xy + 5y² − 2x + 4y + 1 = 0 f'(x) = 2x − 2y − 2 f'(y) = −2x + 10y + 4 2x − 2y − 2 = 0 −2x + 10y + 4 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 8y + 2 = 0 8y = −2 y = −4 2x − 2 * −4 − 2 2x + 8 − 2 2x + 6 2x = −6 x = − 3 P(−3,−4) − teraz co to oznacza? wiem jak się liczy, a nie wiem co to znaczy teraz pochodna 2 stopnia. f''(x,x) = 2 f''(y,x) = −2 f''(x,y) = −2 f''(y,y) = 10 | 2 − 2 | | −2 10| 20 + 4 = 24 Teraz co to oznacza? Jakie są warunki, itp?

aniabb: jeśli 8y = −2 to ile równa się y bo twoje −4 znaczy że 8*(−4)=−2 ten punkt co Ci wyszedł to punkt podejrzany o ekstremum wyznacznik większy od zera to warunek wystarczający czyli że tak jest ekstremum f"(xx) = 2 jest >0 zatem jest to minimum

aniabb: wczytaj się w opis AS z 11:40

hp: Dobrze, czyli jeżeli ten W = 24 jest > 0 to ekstremum występuje w P podejrzanym o to. i a z f''(xx) = 2 > 0 to zawsze się to sprawdza? a co jeśli W < 0 ?

hp: a dobrze, już widzę, przeczytałem i wiem, dziękuje bardzo za pomoc, teraz wiem jak to się liczy

aniabb: A POPRAWIŁEŚ WSPÓŁRZĘDNE PUNKTU

hp: po zmianach P(x,y) wyszło P(0,75 ; −0,25) możesz sprawdzić?

aniabb: o 11:43 masz poprawne wyniki tak zgadza się

hp: czemu min −1/4 ?u mnie jest 2.

sucz: αγδπ