paraboloida slawomir: objetosc paraboloidy Witam! Mam za zadanie policzyć objętość bryły jaką jest paraboloida za pomocą całki potrójnej. Jest ona opisania takimi równaniami: z = x² + y² oraz z = 4; I teraz bedzie to taka prabolka skierowania do góry ramionami rozpoczynająca się w początku układu współrzędnych. Mam pytanie. Jak opisać obszar całkowania dla całki potrójnej? Jakby paraboloida była skierowana ramionami w dół, nie widziałbym problemu, niestety ramiona w górze sprawiają, że nie potrafię opisać tego obszaru granicami. Serdecznie prosze o pomoc i pozdrawiam!

Nienor: Obszar całkowania: x²+y²≤4 x∊[−2,2] y∊[−√4−x²;√4−x²] z∊[x²+y²;4] V=∫²₋₂ dx ∫^√4−x2_{−√4−x²} dy ∫⁴_x²+y² dz= ∫²₋₂ dx ∫^√4−x2_{−√4−x²}(4−x²−y²)dy=...

slawomir: a czy moge wprowadzic wsp. biegunowe? i wtedy zapisac −2≤x≤2, 0≤t≤2π, x² + y² ≤ z ≤ 4 ? Gdzie za x wstawie rcost a za y rsint ?

Nienor: Możesz, nie zamieniałam, bo nie wiem czy miałeś twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej(bo to nie jest tak, że tylko sobie podstawiasz, musisz jeszcze policzyć jakobian.)

slawomir: uczylismy sie, ze poprostu trzeba dorzucic 4 pod calke ?

Nienor: Nie, jakobian trzeba dorzucić pod całkę.

slawomir: jakobian xD mialem napisac r a wcisnelo mi sie 4

Nienor: Po za tym jak to jest całka potrójna to przechodzisz na współrzędne sferyczne: x=rcosφ y=rsinφ z=h Jac = r² (poszukaj w necie jak go trzeba wyliczyć, bo tu trudno to zapisać) r∊[0,2] φ∊[0,2π) h∊[r²,4] V=2π∫²₀ dr ∫⁴_r² r²dr

Nienor:

slawomir: zawsze w calkach potrojnych jakobian jest do kwadratu? xD

Nienor: Nie, np. dla współrzędnych sferycznych on wynosi: http://pl.wikipedia.org/wiki/Układ_współrzędnych_sferycznych#Przej.C5.9Bcie_do_uk.C5.82adu_kartezja.C5.84skiego_2 Po za tym to r jest do kwadratu, a nie jakobian

Vizer: Nienor to co zapisałaś z 16:26 to nie sferyczne tylko walcowe, a i jakobian nie r² tylko samo r.