. asdf: Zadanko: Wyznacz ogólny wzór ciągu, jeżeli: P(0) = 0, P(n+1) = 2*P(n) + 2{n+1) − 1 dla n ≥ 0 P(i) = 2*P(i−1) + 2ⁱ −1 (dla pomocy) P(n+1) = 2*P(n) + 2ⁿ⁺¹ − 1 = (rekurencja) 2*(2*P(n−1) + 2ⁿ−1) + 2ⁿ⁺¹ − 1 = 4*P(n−1) + 2ⁿ⁺¹ − 2 + 2ⁿ⁺¹ − 1 = 4*P(n−1) + 2*2ⁿ⁺¹ − 3 = (kolejna rekurencja) = 4*(2*P(n−2) + 2ⁿ⁻¹ − 1) + 2*2ⁿ⁺¹ − 3 = 8P(n−2) + 2ⁿ⁺¹ − 4 + 2*2ⁿ⁺¹ − 3 = 8P(n−2) + 3*2ⁿ⁺¹ − 7 = ...(k−ta rekurencja) = 2^k P(n−k+1) + k*2ⁿ⁺¹ − (2^k − 1) = 2^k * P(n−k+1) + k*2ⁿ⁺¹ − 2^k + 1 = P(0) = 0, więc wyznaczę granice: n−k+1 = 0 k = n+1 podstawie do k, oraz uwzględnie P(0) = 0: 2ⁿ⁺¹*P(0) + (n+1)*2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ + 1 = 2ⁿ⁺¹*0 + (n+1)*2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ + 1 = (n+1)*2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ + 1 = n*2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ + 1 = (ostatecznie) = n*2ⁿ⁺¹ + 1 P(n+1) = n*2ⁿ⁺¹ + 1 ⇒ P(n) = (n−1)*2ⁿ + 1