zadanie z masą slawek: Witam! Mam takie zadanko. Wyznaczyc mase okregu o promieniu R i srodku w punkcie 0,0 jezeli gestosc w punkcie P = (x,y) wyraża się wzorem p(x,y) = |xy³| Czy dobrze kombinuje, ze bedzie to poprostu calka podwojna po obszarze: 0<r<R 0<t<2π a funkcją podcałkową bedzie xy³, tak? Pozdrawiam!

slaw: spojrzy ktos?

slaw: pomoze ktos?

slaw: serdecznie prosze o pomoc..

slaw: popatrzycie?

slaw: czy moge zrobic to tak jak rozpisalem, czy musze to liczyc calka krzywoliniowa?

Vizer: No raczej źle, masa liczona przez całkę podwójną to masa powierzchni, a tu masz okrąg więc niestety wchodzi w grę całka krzywoliniowa nieskierowana

slaw: a mógłbyś mi tę całkę rozpisać? Jakby to wyglądało? Proszę, proszę, proszę

Dr: A masy nie liczy się z całki potrójnej?

slaw: z calki potrojnej liczy sie mase bryly to napewno Ale niewiem jak z calka podwojna i calka krzywoliniowa, jak te zadanko co podalem zrobic

Vizer: Zadanie chyba nie jest trudne, wiedząc, że fizyczną interpretacją całki krzywoliniowej jest właśnie masa o pewnej gęstości, korzystamy wprost z gotowego wzoru zamiany całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną: ∫_L f(x,y) ds = ∫_a^b f(x(t),y(t)) √(x'(t))² + (y'(t))² dt Parametryzując okrąg: x = rcost y = rsint t∊[0,2π] f(x(t),y(t)) = |r³costsin³t| Całkę więc zapiszemy tak : ∫_a^b |r³costsin³t| √(−rsint)² + (rcost)² = ...

Vizer: A zamiast a i b, odpowiednio powinno być 0 i 2π

slaw: aha Czy jakies czynnosi beda musial wykonac zwiazane z ta wartoscia bezwzgledna? aha i mam jeszcze takie zadanko: wyznaczyć masę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych a, jeżeli gęstość masy w punkcie P jest równa odległości punktu P od ustalonej przyprostokątnej. Nie chce, zebys tego drugiego zadanki mi ropisywal, tylko powiedz mi jaka jest ta funkcja gestosci i potwierdz, ze to zadania tez robimy calka krzywoliniowa. Ps. Vizer, jestes wielki

slaw: a wlasciwie to i to z trojkatem mozesz mi rozpisac, jezeli oczywiscie masz chec. I mozesz mi tez wyjasnic w takim razie kiedy stosujemy calkie zorientowana krzywoliniowa a kiedy niezorientowana

slaw: pomozecie?

Vizer: Widzę, że nikt tu nie przypada za całkami krzywoliniowymi, ja w zasadzie tez ich nie lubiłem Czynności takie, ze niestety trzeba będzie rozbić na przedziały. Aha i pomyliłem się tam jeszcze, bo powinno być : |r⁴costsin³t| √(−rsint)² + (rcost)² Co do trójkąta, to na szczęście można liczyć z całki podwójnej, bo trójkąt ma powierzchnię (całe nasze szczęście). Jako, że nie mamy powiedziane gdzie ten trójkąt się znajduje, w zasadzie to chyba nie ma znaczenia, bo rozkład masy powinien być wszędzie taki sam (?), to umieszczam go sobie jak na rysunku. Ustalam sobie przyprostokątną tą leżącą na osi OX. Więc odległość z każdego punktu jaki bym sobie nie wybrał na tym trójkącie jest równa : d = y, więc nasza funkcja gęstości f(x,y) = y Granice pomyśl sam, jak coś będę za 0.5h i Cię naprowadzę

slaw: mozna liczyc z calki podwojnej, to znaczy mozna zastosowac tw. greena tak?

Vizer: Nie, normalnie z całek podwójnych, z faktu, że masa obszaru o gęstości f(x,y) wyraża się za pomocą całki : M = ∫_D f(x,y) dxdy Tu nie używamy krzywoliniowych, bo mamy do czynienia z powierzchnią. Tw. Greena w żadnym wypadku, bo to dla zorientowanej całki krzywoliniowej, a tutaj nie mamy nawet określonej orientacji, więc do takich mas czy innych rzeczy to najwyżej całka niezorientowana, a w tym przypadku (trójkąta) własność całki podwójnej

slaw: aha Czyli ten trojkacik to jest poprostu powierzchnia, ktorej mase mamy policzyc Nie jest to tak jak w zadaniu poprzednim krzywa dobrze rozumiem?

Vizer: Tak, okrąg nie ma powierzchni, to jego masę inaczej liczyliśmy (za pomocą całki krzywoliniowej niezorientowanej), podobnie byśmy liczyli gdybyśmy mieli jakąś krzywą, w przypadku trójkątów, kwadratów, kół stosujemy całkę podwójną, bo powierzchnię one mają zdefiniowaną Dałeś sobie rade z tym trójkątem dalej?

slawek: no probuje. Natomiast mam tego bardzo duzo a w srode egzamin i robie wszystko po trochu

Vizer: No ja też przewalone teraz, czytam coś, wchodzę tutaj, dalej czytam, znów zerkam na forum Wolę liczyć te całki niż się uczyć do sesji

slawek: ja mam sesje z całek xD ale cóż, muszę dać radę Dziękuje Vizer za wszystko

Vizer: Spoko Polecam się na przyszłość I powodzenia na egzaminach

slawomir: Vizer jak bedziesz, to mozesz sprawdzic mi wynik tego zadani z tym kółkiem bo mi wyszło 0 i sie zastanawiam czy masa moze wyjsc 0

Vizer: Wg wolfiego : http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+%7Cr%5E4costsin%5E3t%7C+*+sqrt%28%28-rsint%29%5E2%2B%28rcost%29%5E2%29+dt%2C+t%3D0..2pi Będę później to może przeliczę, r⁴ możesz wyłączyć po za wartość bezwzględną bo zawsze nieujemna i rozpatrujesz tylko dla tego iloczynu f. trygonometrycznych i rozpisujesz na kilka całek z odpowiednimi granicami całkowania i odpowiednim wyjściu z w. bezwzględnej.

slawomir: no a ja calkowicie pominelem wartosc bezwzględną, gdyż niewiem jak sie liczy całki z wartości bezwzględnej

slawomir: poczekam az przyjdziesz Jak mi to rozpiszesz to moze sie naucze

Vizer: Zaraz wychodzę, ale jeszcze Ci napiszę do zastanowienia. Rozkmiń najprostszą i klasyczną całkę tego typu, czyli ∫₀^2π |sinx| dx Licząc bez wartości bezwzględnej wychodzi 0 (suma na dodatniej i ujemnej części jest równa 0) a jak wiemy pole jest równe 4, by otrzymać taki wynik trzeba rozbić na dwa przypadki, tak samo jest z naszym przykładem.

slawomir: jasne, juz mysle

slawomir: ale kurcze, czuje ze ciezko bedzie xD

Vizer: I jak?