Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Magicz: Mam dwa zadania z rachunku prawdopodobieństwa ( prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa ), które nie dokońca rozumiem. Zadanie 1. Mamy trzy bardzo podobne klucze, z których tylko jeden pasuje do zamka. W ciemnosci próbujemy klucze w kolejnosci losowej i jesli trafimy na niedobry, to go chowamy. Oblicz prawdopodobienstwo otwarcia zamka: a) w pierwszej próbie, b) w drugiej próbie c) w trzeciej próbie. Zadanie 2. Pewien srodek owadobójczy zabija 80% szkodników przy pierwszym zastosowaniu, ale czesciowo uodparnia te owady, które przezyły. W rezultacie przy drugim zastosowaniu ginie juz tylko 40% pozostałych, a przy trzecim — juz tylko 20%. Oblicz prawdopodobienstwo tego, ze szkodnik przezyje: a) trzy spryskania, b) trzy pod warunkiem, ze przeżył pierwsze, c) trzy pod warunkiem, ze przeżył drugie. Ad 1, W pierwszym rozrysowałem drzewko stochastyczne, obliczyłem, wszystko poprawnie, jednak chciałby, aby ktoś podpowiedział mi, jak to zapisać formalnie − używając wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, czyli P(A)=P(B1)(A|B1)+P(B2)(A|B2)+...+P(Bn)*P(A|Bn) Moje rozwiązanie: a) P(A)=1/3*1=1/3 b) P(B)=2/3*1/2=1/3 c) P(C)=2/3*1/2*1=1/3 Ad 2. a) w tym podpunkcie też rozrysowałem drzewo, zrobione poprawnie, odpowiedź to P(A)=0,2*0,6*0,8 jednak dalej nie wiem, które to będzie prawdopodobieństwo ZAJŚCIA HIPOTEZ, a które prawdopodobieństwo ZAJŚCIA ZDARZENIA POD WARUNKIEM ZAJŚCIA HIPOTEZ. b) i c) kompletnie nie rozumiem, przecież jeśli szkodnik ma przeżyć trzy spryskiwania to chyba musi przeżyć pierwsze i drugie, czyli ogółem będzie to prawdopodobieństwo z podpunktu a). Proszę o wytłumaczenie tych problemów, myślę, że są one kluczowe w dalszym zrozumieniu tematu .

tn: Zadanie 1. Zauważ, że masz trzy etapy. Losujesz trzy razy, aż do momentu wylosowania prawidłowego klucza. a) Chcemy, aby za pierwszym razem trafić ten dobry klucz. Tutaj całkowite nie odegra swojej kluczowej roli − mamy jeden etap, no ale. A − za pierwszym razem wylosowano prawidłowy klucz. A₁ − wylosowano prawidłowy klucz. P(A) = P(A|A₁) * P(A₁) = 1 * 1/3 = 1/3 b) A − za drugim razem wylosowano klucz prawidłowy. A₁ − za pierwszym razem nieprawidłowy A₂ − za drugim razem prawidłowy P(A) = P(A|A₁) * P(A₁) + P(A|A₂) * P(A₂) = 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/3 = 1/3 c) A − za trzecim razem prawidłowy A₁ − za pierwszym razem nieprawidłowy A₂ − za drugim razem nieprawidłowy P(A) = P(A|A₁) * P(A₁) + P(A|A₂) * P(A₂) + P(A|A₃) * P(A₃) = 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/3 * 1 = 1/3 Jak widzisz całkowite pozwala nam rozbić zadanie na etapy. Wtedy ma ono największe zastosowanie. Rozbijamy naszą przestrzeń zdarzeń na mniejsze części, zdarzenia muszą być rozłączne. P(A|A₁) znaczy tyle co: Prawdopodobieństwo zdarzenia A zakładając, że wystąpiło zdarzenie A₁. I na tym polega właśnie to "etapowanie" Jakie jest p−stwo wylosowania za drugim razem prawidłowego klucza (pkt b) ) ZAKŁADAJĄC ŻE W PIERWSZYM ETAPIE WYLOSOWANO NIEPRAWIDŁOWY ? No oczywiście: P(A|A₂) = 1/2. Wcześniej wylosowaliśmy nieprawidłowy, został teraz taki i taki. Więc 1/2. Tak samo w podpunkcie a) (tyle, że tutaj masz jeden etap). A − wylosowano prawidłowy A₁ − wylosowano za pierwszym razem. P(A|A₁) − wylosowano prawidłowy, pod warunkiem, że prawidłowy za pierwszym razem. Wiadomo, że 1.

Magicz: Dziękuje za odpowiedź, ale nie jestem pewny Twojego zapisu ( przepraszam, mogę trochę namieszać, ale chcę się upewnić ): podpunkt b) " A − za drugim razem wylosowano klucz prawidłowy. A1 − za pierwszym razem nieprawidłowy A2 − za drugim razem prawidłowy P(A) = P(A|A1) * P(A1) + P(A|A2) * P(A2) = 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/3 = 1/3 " to P(A|A1) =1/2 − to wydaję mi się, że rozumiem, to jest jedna z gałęzi w tym drzewie ale P(A1)=1/3 − prawdopodobieństwo, że " za pierwszym razem nieprawidłowy " nie powinno być czasem 2/3 ? A jeśli chodzi o to: P(A|A2) − prawdopodobieństwo wylosowania klucza PRAWIDLOWEGO pod warunkiem ze za drugim razem wylosowano PRAWIDŁOWY to jest to w istocie to samo co P(A|A1) ?