Janek191:
l
1 : x + y + z = 0
x − y − z = 1
Prostą l
1 zapisaną w postaci krawędziowej trzeba zapisać w postaci
parametrycznej :
V
1 = [ 1, 1, 1 ]
V
2 = {1, − 1, − 1 ]
V
1 − wektor prostopadły do płaszczyzny o równaniu x + y + z = 0
V
2 − wektor prostopadły do płaszczyzny o równaniu x − y − z = 1
Szukamy wektora kierunkowego krawędzi
Jest to iloczyn wektorowy V
1 i V
2
czyli
v = V
1 x V
2 = [ 1, 1, 1 ] x [ 1 , − 1, − 1 ] = [ 1*(−1) − 1*(−1)]*i +
+ [ 1*1 − 1*(−1)]*j + [ 1 *(−1) − 1*1]*k = 0*i + 2*j − 2*k = [ 0, 2, − 2]
Wyznaczamy punkt P
o leżący na krawędzi . Jedną ze współrzędnych
można przyjąć dowolnie.
Niech z
0 = 0
zatem
x
0 + y
0 = 0 ⇒ y
0 = − x
0
x
0 − y
0 = 1
−−−−−−−−−−−−−−−−−− dodajemy stronami
2 x
0 = 1
−−−−−−−−−−−−−−
więc
−−−−−−−−−−−−−
czyli
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Przedstawienie parametryczne prostej l
1 :
z = 0 − 2*t
==========
Przedstawienie parametryczne prostej l
2 :
x = 1 + 2 t
y = 0 + t
z = 3 − t
=========
Korzystamy z wzoru na odległość dwóch prostych skośnych:
| | I ( r1 − r2)*(w1 x w2) I | |
d = |
| |
| | I w1 x w2 I | |
Mamy
r
2 = ( 1, 0, 3)
w
1 = [ 0, 2 , − 2]
w
2 = [ 2, 1 , − 1 ]
| | 1 | | 1 | |
r1 − r2 = [ − |
| , − |
| , − 3 ] |
| | 2 | | 2 | |
w
1 x w
2 = ( 2*(−1) − (−2)*1) *i + ( (−2)*2 − 0*(−1)) *j + ( 0*1 − 2*2)*k =
= 0*i − 4*j − 4 *k = [ 0, − 4, − 4]
I w
1 x w
2 I =
√ 02 + (−4)2 + (−4)2 =
√16*2 = 4
√2
zatem
| w1 x w2 | | 1 | | 1 | |
| = [ 0, − |
| , − |
| ] |
| I w1 x w 2 I | | √2 | | √2 | |
czyli odległość tych prostych jest równa
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
d = [ − |
| , − |
| , − 3 ] * [ 0, − |
| , − |
| ] = |
| | 2 | | 2 | | √2 | | √2 | |
| | 1 | | 3 | | 4 | |
= 0 + |
| + |
| = |
| = √2 |
| | 2√2 | | 2 √2 | | 2 √2 | |
==========================
Jak się nie pomyliłem, to powinno być dobrze.
a nie jest czasem tak?: