Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f Vesper: Witam! Przygotowuję się do egzaminu z analizy matematycznej. Czy mógłby mi ktoś sprawdzić rozwiązanie następującego zadania: Niech f(x,y)=2x²−xy+4x+8 − Oblicz wszystkie pochodne czastkowe drugiego rzędu. Najpierw obliczam pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: 1) Licze pochodną po x: F'_x=(2x²−xy+4x+8)' = 4x−y+4 2) Licze pochodną po y: F'_y= (2x²−xy+4x+8)'= −x II Liczę pochodne 2go rzędu: 1) Liczę pochodną po x z 4x−y+4: F'_x=(4x−y+4)=4 2) Licze pochodna po y z 4x−y+4: F'_y=(4x−y+4)'= −1 3) Licze pochodną po x z −x: F'_x= (−x)'= −1 4) Liczę pochodną po y z −x: F'_y=(−x)' = 0

wredulus_pospolitus: pochodne cząstkowe oznacza się trochę inaczej np.: f ''_xx

wredulus_pospolitus: a więc: f ''_xx = 4 dobrze f ''_xy = −1 dobrze f ''_yx = −1 dobrze f ''_yy = 0 dobrze

Vesper: Okey dziękuję bardzo za sprawdzenie Zaniedługo zrobię podpunkt b) Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f i wstawie wynik do sprawdzenia, byłbym wdzięczny gdyby to też ktoś mógł sprawdzić

wredulus_pospolitus: nie ma problemu

Vesper: Em a tak w między czasie to nim wstawie to rozwiązanie do podpunktu b.. to miałbym kilka pytań odnośnie innych zadań. Mianowicie: Oblicz drugą pochodną funkcji f(x)=3x⁴−5x²+8 w punkcie 0. Jak się domyślam chodzi o to że mam obliczyć drugą pochodną w punkcie x₀=0 a nie w p(0,0)? Polecenie jest takie jak podałem i wole dopytać. Nie jestem pewien czy to jest dobre rozwiązanie ale z polecenia nie mam narzuconego czy muszę to rozwiązywać z definicji czy też nie dla tego rozwiązałem to w ten sposób ale prawde mówiąc nie jestem pewien co do tej metody i tym bardziej wyniku: F'(x)= 12x³ −10x F''(x)= 36x²−10 więc w miejsce x w F''(x) podstawiam x₀=0? F(0)''= 36*(0)²−10 = −10?

wredulus_pospolitus: oczywiście ... chodzi o obliczenie f ''(0) ... w końcu jest to funckaj jednej zmiennej f(x) więc nie ma czegoś takiego jak f'(0,0) rozwiązane prawidłowo

Vesper: Rozumiem, czyli dobrze to rozumiałem Mam jeszcze jedno zadanie i prawde mówiąc z nim ma największe problemy chociaż wcale nie powinno być takie trudne. Czy ciąg o wyrazie ogólnym an= 13−3n jest ograniczony z dołu? Odpowiedź uzasadnić. Wiem żę ciąg jest ograniczony z dołu kiedy istnieje m∊R takie że an ≥ m.. No właśnie tylko teoria teorią a praktyka lezy.. Z tego co mi sie wydaje to powinno to zostać tak rozwiązane: Najpierw policzyć granice żeby zobaczyć czy ciąg jest ograniczony a ten jest malejący. tak więc lim₍n−>infinity) 13−3n = n(13/n−1) = nieskonczonosc * −1 = −(nieskończoność). Tak więc skoro to jest ciąg malejący (wiadomo chociażby z podstawienia za np 5 kolejnych wyrazów ciągu dla n= 1,2,3...5) i ten ciąg zbiega ku nieskończoności to nie jest on ograniczony z dołu ale jest ograniczony z góry bo jak za n∊N podstawimy 1 to otrzymamy a₁=13−3*1=10 więc zgodnie z definicją ciąg jest ograniczony z góry wtedy i tylko wtedy kiedy istnieje M∊R takie ze dla dowolnego n∊N zachodzi nierówność an ≤ M a w tym wypadku największym wyrazem ciągu jest a₁=10 dla tego z góry jest ograniczone przez 10 albo n∊R > 10. Natomiast z dołu ciąg nie jest ograniczony bo zbiega on do − nieskończoności? Oczywiście przyznaje się że nie jestem pewien czy to o to chodzi gdyż co do tego mogę szczerze powiedzieć żę nie wiem za bardzo jak sprawdzić czy ciąg jest ograniczony z dołu albo z góry.. tzn nie potrafię tego udowodnić matematycznie. Jeśli się mylę to czy mógłbyś mi pokazać jak rozwiązać takie zadanie i wytłumaczyć je krok po kroku?

wredulus_pospolitus: Vesper ... granice liczyć potrafisz (musisz skoro pochodne cząstkowe liczysz) w takim razie oblicz granicę tego ciągu + wyznacz monotoniczność z tych dwóch rzeczy jesteś w stanie podać ograniczenia ciągu ponieważ: jeżeli ciąg jest monotoniczny to jest ograniczony (w zależności czy rosnący czy malejący) z dołu/góry przez a₁ natomiast ograniczenie z góry/dołu wynika z granicy tegoż ciągu w Twoim przykładzie ciąg NIE BĘDZIE ograniczony ... zauważ, że jest to ciąg arytmetyczny Pisałem to wszystko przed przeczytaniem Twojego postu ... więc się nie dziw że powtarzam to co napisałaś. Jeszcze tylko jedna uwaga ... czy nie musisz tego wykazać z definicji

Vesper: Czyli dobrze myślałem i wytłumaczyłem? Właśnie wydaje mi sie że powinienem to udowodnić z definicji problem w tym że na zajęciach wykładowca podał nam tylko definicje i rozwiązał zadanie typu an=1/n co jest oczywiste ze 0≤an≤1 i to bez liczenia granicy to widac bo ciąg jest monotoniczny, malejący... wystarycz podstawic n=1 i np n=10 zeby widziec ze z góry ograniczony jest przez 1 a z dołu przez 0... I niestety na tym się skończyło określanie czy ciąg jest ograniczony z dołu albo z góry dla tego kompletnie nie wiem jak to zrobić z definicji. Ja to zadanie rozwiązałem na zasadzie czystej logiki Dla tego jeśli byś mógł mi pokazać jak to wykazać z definicji to byłbym CI dłużny

Vesper: Witam ponownie! Jak obiecałem wstawiam rozwiązanie podpunktu b). Przypomnę zadanie. Niech f₍x,y)=2x²−xy+4x+8: a) Oblicz pochodne cząstkowe 2−go rzędu. Rozwiązanie: I − Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: F'_x= (2x²−xy+4x+8)' = 4x−y+4 F'_y= (2x²−xy+4x+8)' = −x II − Pochodne cząstkowe 2−go rzędu: F'₍x,x)=(4x−y+4)' = 4 F'₍y,x)=(4x−y+4)' = −1 F'₍x,y)= (−x)' = −1 F'₍y,y)= (−x)'= 0 b) Wyznacz ekstremum lokalne funkcji Aby to zrobić należy utworzyć układ równań z pochodnych cząstkowyc i−go rzędu tak więc:

⎧	4x−y+4 = 0
⎩	−x=0

po wyliczeniu otrzymuje kolejno

⎧	x=0
⎩	y=4	Tak więc tym samym otrzymuje punkt P1(0,4) − Podejrzany o bycie ekstremum funkcji

Następnie tworze wyznacznik z pochodnych cząstkowych drugiego rzędu żeby sprawdzić czy ta funkcja posiada ekstremum w P₁ :

	⎧	|4 −1|
W=	⎩	|−1 0|	(teraz podstawiam w miejsce pochodnych 2−go rzedu współrzędne P1(0,4). i

otrzymuje

	⎧	|4 −1|
W(P1)=	⎩	|−1 0|	, obliczam wyznacznik

	⎧	|4 −1|
W(P1)=	⎩	|−1 0|	= 4*0 − (−1*−1) = 0 −(+1) = −1

Więc W(p₁) < 0 tak więc funkcja nie osiąga ekstremum w tym punkcie. Odp: Jako że funkcja posiada tylko jeden punkt P₁(0,4) podejrzany o bycie ekstremum funkcji a wyznacznik W(P₁) < 0 to funkcja nie posiada ekstremów. To jest moje rozwiązanie, czy mógłby to ktoś tylko sprawdzić czy dobrze rozwiązałem? Z góry dziękuję!