podzielnosc zadanie: kiedy liczba jest podzielna przez 42? wydaje mi sie ze kiedy jest podzielna przez 7 i 6. pytam bo mam takie zadanie: chce wykazac ze to wyrazenie jest podzielne przez 42 7k⁶+21k⁵+35k⁴+35k³+21k²+7k= doszedlem do takich przeksztalcen (mam nadzieje ze sie nie pomylilem po drodze) =7k(k⁵+3k⁴+5k³+5k²+3k+1)=7k(k+1)(k⁴+2k³+3k²+2k+1)=7k(k+1)[k(k³+2k²+3k+2)+1]= 7k(k+1)[k(k+1)(k²+k+2)+1]=7k(k+1)[k(k+1)[k(k+1)+2]+1] i nie wiem co dalej zrobic z tym wyrazeniem? bo to ze jest ono podzielne przez 7 to wiadomo na poczatku ale pozostaje wykazac podzielnosc przez 6; wiem ze tak jest jezeli jest iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych ale nie wiem jak do tego dojsc?

PW: To proste: wśród 3 kolejnych liczb naturalnych jest co najmniej jedna parzysta i dokładnie jedna podzielna przez 3 (może to być ta sama liczba, ale to dla naszych celów ie ma znaczenia).

zadanie: no tak ale tutaj nie ma 3 kolejnych liczb naturalnych

zadanie: i jak to dokonczyc?

zadanie: moglbym kogos prosic o zobaczenie na to zadanie?

zadanie: ?

wredulus_pospolitus: jasne ... ale można to łatwo obejść: załóżmy jedyny (na pierwszy rzut oka) scenariusz który przeczy tej tezie w takim razie k dzielone przez 3 daje resztę 1 (aby k+1 także nie było podzielne przez 3) w takim razie: k⁴ dzielone przez 3 także daje resztę 1 tak samo jak k³, k² czyli możemy zapisać: k⁴+2k³+3k²+2k+1 przy dzieleniu przez 3 daje 'resztę' 1 + 2*1 + 3*1 + 2*1 + 1 = 1+2+3+2+1 = 9 ... co jest podzielne przez 3 w takim razie to wyrażenie jest podzielne przez 3 ... gdy tylko k dzielone przez 3 daje resztę 1 c.n.w.

zadanie: dziekuje bardzo

zadanie: czyli to wyrazenie jest podzielne przez 6 no i wiadomo przez 7 wiec jest podzielne rowniez przez 42

wredulus_pospolitus: dokładnie

PW: Bardzo łatwy jest dowód "wprost". Badane wyrażenie ma postać 7k(k⁵+3k⁴+5k³+5k²+3k+1), jest więc podzielne przez 7 i przez 2. Podzielność przez 2 jest oczywista dla parzystych k, zaś dla nieparzystych k wynika z faktu, że w nawiasie jest suma sześciu nieparzystych liczb. Wyrażenie to jest również podzielne przez 3. Jeżeli k jest liczbą podzielną przez 3, to nie ma czego dowodzić. Łatwo pokazać, że suma w nawiasie dzieli się przez 3, zarówno gdy k=3p+1 jak i gdy k=3p+2. Dla k=3p+1 każda z potęg kⁿ ma postać (3p+1)ⁿ, jest więc liczbą postaci 3pq_n+1, q_n∊N (widać to po zastosowaniu wzoru na (a+b)ⁿ). Tak więc 1k⁵+3k⁴+5k³+5k²+3k+1= =3p(q₅+1)+3•3p(q₄+1)+5•3(q₃+1)+5•3p(q₂+1)+3•3p(q₁+1)+1, jest więc sumą liczby podzielnej przez 3 oraz 1•1+3•1+5•1+5•1+3•1+1=18=3•6. Dla k=3p+2 każda z potęg kⁿ ma postać (3p+2)ⁿ, jest więc liczbą postaci 3pq_n+2ⁿ, czyli wyrażenie w nawiasie jest sumą liczby podzielnej przez 3 oraz 1•2⁵+3•2⁴+5•2³+5•2²+3•2+1= =32+48+40+20+6+1=147=3•49. Podsumowanie: badane wyrażenie jest podzielne przez 7 i przez 2 i przez 3, jest zatem podzielne przez 42.

AS: Podaję (za Wolframem) cechę podzielności przez 7 1. Tworzę liczbę złożoną z trzech ostatnich cyfr (L1) 2 Tworzę liczbę z pozostałych cyfr (nie zmieniając porządku) (L2) 3. Tworzę różnicęL1 − L2 lub L2 − L1 4. Jeżeli ta różnica jest podzielna przez 7 to i cała liczba jest podzielna przez 7. np. 487005428 Pierwsza różnica: 487005428 − 428 = 486577 Druga różnica: 577 − 486 = 91 91 = 7*13 jest podzielna przez 7 więc i pierwotna liczba jest podzielna przez 7

zadanie: a czy mozna bylo zbadac podzielnosc tego wyrazenia przez 6 za pomoca indukcji matematycznej? bo ja dzisiaj tak zrobilem i troche duzo obliczen bylo bo wyszlo mi wyrazenie podzielne przez 2 i musialem znowu za pomoca indukcji matematycznej wykazac ze jest ono podzielne przez 3 w koncu wyszlo ze jest podzielne przez 6 czyli cale poczatkowe wyrazenie jest podzielne przez 42

AS: poprawka Oczywiście pierwsza różnica ma postać 487005 − 428 = 486577