Zadania z pola czworokąta m&m: 1. Przekątne równoległoboku o polu równym 16√2 cm² przecinają się pod kątem, którego sinus wynosi 2√2/3. Jedna z przekątnych tego równoległoboku jest trzykrotnie dłuższa od drugiej. a) Uzasadnij, że krótsze boki tego równoległoboku są prostopadłe do jednej z przekątnych. b) Oblicz obwód tego równoległoboku. 2. W prostokącie o przekątnej 12 cm połączono odcinkami środki sąsiednich boków. Otrzymany romb ma pole równe 12√3 cm². Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego tego rombu.

Janek191: z.1 ABCD − dany równoległobok a = I AB I = I CD I b = I BC I = I AD I O − punkt przecięcia się przekątnych P − pole równoległoboku P = 16 √2 cm² a) Niech x = I BO I = DO I , więc I AO I = I CO I = 3 x

	2 √2
α = I ∡ BOC I , sin α =
	3

Mamy

	1		1
P = 2*		x*3x*sin α + 2*		x*3x * sin ( 180o − α) =
	2		2

= 3 x² * sin α + 3 x² * sin α = 6 x² *sin α zatem

	2 √2
6 x2 *		= 16 √2
	3

4 x² = 16 x² = 4 x = 2 ===== 3 x = 3*2 = 6 ==========

	2 √2		8		1
cos2α = 1 − sin2 α = 1 − [		]2 = 1 −		=
	3		9		9

	1
cos α =
	3

−−−−−−−−−− Z Tw, cosinusów mamy: a² = 2² + 6² − 2*2*6*cos ( 180^o − α) = 4 + 36 − 24* ( − cos α) =

	1
= 40 + 24*		= 40 + 8 = 48 = 16*3
	3

więc a = 4 √3 ======== oraz

	1
b2 = 22 + 62 − 2*2*6*cosα = 4 + 36 − 24*		= 40 − 8 = 32 = 16*2
	3

więc b = 4 √2 ======== Sprawdzam , czy Δ BCO jest prostokątny ? 2² + b² = 6² 4 + [ 4 √2]² = 36 4 + 16*2 = 36 36 = 36 Tak ========== ∡ CBO jest prosty. ===================== b) Obwód równoległoboku L = 2a + 2b = 2* 4√3 + 2*4 √2 = 8 √3 + 8 √2 = 8*( √3 + √2) ======================================================

m&m: A da radę wykombinować zad.1 bez tw. cosinusów, bo jeszcze tego nie miałam?

justyna: 4√2=1/2b * 1/2 * 2