trygonometria - równania mrcyvill: Takie tam zadanka z trygonometrii. Ciekawe czy ktoś rozwiąże 1)Dla jakich wartości parametru m równanie:

	2m−1
a)sinx=
	m+3

	cosx
b)		=m
	2−cosx

c)sin²x−sinx−m=0 d) 3sinx+4cosx−m=0 ma rozwiązanie? 2)Wyznacz zbiór wartości funkcji: f(x)=cos2x−sinx−3 (tak, tu nie ma kwadratu) 3)Dla jakich m równanie: m*sinx+cosx=2m ma rozwiązanie?

PW: Prosisz o pomoc, czy urządzasz konkurs?

Eta:

Godzio:

Eta: Godzio

Bogdan:

Eta: dla Bogdana

Ajtek: Witam PW, oraz ukrywających się Etę i Godzia . Zadanka z serii nie do zrobienia....................

Ajtek: Witaj Bogdan .

Bogdan: Witam dla Ety, dla Wszystkich

Bogdan: Widzieliście ten numer 206782

Ajtek: Nieźle . Wiesz Bogdan, ja sam polecam tą stronkę moim kursantom. Jeżeli czegoś nie rozumieją, a do randki matematycznej ze mną jeszcze sporo czasu, niech zapytają tutaj. Podpowiedź najprawdopodobniej dostaną .

bezendu: Jeśli to jest konkurs, to jaka jest nagroda?

Eta: Jakub powinien dopisać na stronce: "masz do rozwiązania zadania? ....wrzuć je...... rozwiążemy za Ciebie a Ty możesz spokojnie iść na imprezkę"

mrcyvill: niestety nie mam do zaoferowania żadnej nagrody oprócz dozgonnej wdzięczności jednak fajnie byłoby gdyby ktoś pomógł mi zrobić 2 i 3, bo tylko na te nie mam pomysłu a co do 1 to zawsze lepiej się upewnić

Kaja: 2. f(x)=cos²x−sin²x−sinx−3=1−2sin²x−sinx−3=−2sin²x−sinx−2 niech t=sinx, t∊<−1;1> wyznaczam wartość najmniejszą i największą funkcji y=−2t²−t−2 w przedziale <−1;1>

	15
yw=−		∉<−1;1>
	8

dla t=−1: y=3 dla t=1: y=−5 zatem ZW=<−5;3>

Kaja: mrcyvill a jaka ma być odpowiedź do tego zad.2?

ZKS: Kaja przecież to t_w ma należeć do przedziału [−1 ; 1] a nie y_w.

Kaja:

	1
tak masz rację ZKS. więc tw=−		∊<−1;1>
	4

dla t=−1 też jest błąd. ma być y=−3

	15
zatem ZW=<−5;−		>
	8

Kaja: 3. msinx+cosx=2m /:√1+m²

	m		1		2m
		sinx+cosx*		=
	√1+m2		√1+m2		√1+m2

	m		1
ponieważ (		)2+(		)2=1, więc istnieje taki kąt α, że
	√1+m2		√1+m2

	m		1
cosα=		i sinα=
	√1+m2		√1+m2

	2m
zatem cosα*sinx+cosx*sinα=
	√1+m2

	2m
sin(x+α)=
	√1+m2

2m		2m
	≥−1 i		≤1
√1+m2		√1+m2

2m≥−√1+m² 2m≤√1+m² (**) 2m+√1+m²≥0 (*) 1⁰ m≥0 wtedy nierówność (*) 4m²≤1+m² jest prawdziwa dla m≥0 3m²≤1 m∊<−^√3₃;^√3₃> i m≥0 zatem m∊<0;^√3₃> 2⁰ m<0 2m≥−√1+m² nier. (**)jest prawdziwa dla m<0 4m²≤1+m² 3m²≤1 m∊<−^√3₃;^√3₃> i m<0 m∊<−^√3₃;0> zatem m∊<−^√3₃;0> odp. m∊<−^√3₃;^√3₃>

Kaja: Jeśli ktoś ma cierpliwość to proszę o sprawdzenie tego zadania 3 i skorygowanie ewentualnych błędów

Kaja:

	2m−1		2m−1
1.a)		≥−1 i		≤1 zał. m≠−3
	m+3		m+3

m∊<−²₃;4>

Kaja: 1. b) cosx=m(2−cosx) cosx=2m−mcosx cosx(1+m)=2m 1⁰ dla m=−1 mamy 0=−2 sprzeczność 2⁰ dla m≠−1

	2m
cosx=
	1+m

2m		2m
	≥−1 i		≤1 itd.
1+m		1+m

Kaja: c)sin²x−sinx−m=0 t=sinx, t∊<−1;1> t²−t−m=0 Δ≥0 i t₁∊<−1;1> lub t₂∊<−1;1>

Kaja: Zad.1 d) 3sinx+4cosx−m=0 /:5

	3		4		m
		sinx+		cosx−		=0
	5		5		5

	3		4		m
		sinx+		cosx=
	5		5		5

(³₅)²+(⁴₅)²=1 istnieje więc taki kąt α, że sinα=⁴₅ i cosα=³₅

	m
zatem cosαsinx+sinαcosx=
	5

	m
sin(x+α)=
	5

m		m
	≥−1 i		≤1
5		5

m≥−5 i m≤5 odp. m∊<−5;5>