Wykaż, że funkcja f(x)=u{2}{x} jest rosnąca w przedziale (0,∞) Kott: Miałam wykazać, że funkcja f(x)=²_x jest rosnąca w przedziale (0,∞). Zrobiłam to zadanie, lecz pani od matematyki, powiedziała, że jest zrobione źle. Prosiłabym o znalezienie błędu i opisanie, jak powinnam je zrobić. Zrobiłam tak: Z: f(x)=²_x ⋀ x1<x2 ⋀ x∊(0,∞) T: f(x1)<f(x2) Badamy znak różnicy: f(x2)−f(x1)=²_x2−²_x1=2( ¹_x2−¹_x1 ) z zał. x1<x2 ⋀ x∊(0,∞) : ¹_x2−¹_x1 <0 więc: 2( ¹_x2−¹_x1 )<0 f(x2)−f(x1)<0 f(x1)<f(x2)

Kott: Przepraszam bardzo, źle napisałam, malejąca, to było tak: Z: f(x)=²_x ⋀ x1<x2 ⋀ x∊(0,∞) T: f(x1)>f(x2) Badamy znak różnicy: f(x2)−f(x1)=²_x2−²_x1=2( ¹_x2−¹_x1 ) z zał. x1<x2 ⋀ x∊(0,∞) : ¹_x2−¹_x1 <0 więc: 2( ¹_x2−¹_x1 )<0 f(x2)−f(x1)<0 f(x1)>f(x2)

5-latek: Ale tak sie ulamkow nie odejmuje trzeba je sprowadzic do wspolnego mianownika

PW: Może jeszcze Pani profesor miała na myśli, że jeśli liczby a i b są dodatnie, to

	a
a>b ⇔		>1
	b

(zamiast badać różnicę czasem łatwiej jest zbadać iloraz). W tym wypadku wzięłaś x₁<x₂, a więc

	f(x2)		2		x1		x1
		=		•		=		<1
	f(x1)		x2		2		x2

(bo licznik mniejszy od mianownika i obie dodatnie). Jest więc

	f(x2)
x1<x2 ⇒		<1
	f(x1)

x₁<x₂ ⇒ f(x₂)<f(x₁) − funkcja jest malejąca. Podkreślam, że ten sposób dowodu jest możliwy tylko wtedy, gdy wiemy, że funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie (ujemne).

5-latek: Zrobic np tak jak PW czyli babdajac iloraz lub badajac roznice i pokaze CI gdzie zrobilas

	2
bledy 1 f(x)=		i x∊(0,∞) zalozenie x1<x2 to x1−x2<0 i x2−x1>0
	x

f(x₁)<f(x₂) to f(x₁)−f(x₂)<0 −−−−−−funkcja rosnaca f(x₁)>f(x₂) to f(x₁)−f(x₂)>0.........funkcja malejaca No to badamy znak roznicy f(x₁)−f(x₂) ( a nie odwrotnie jak zrobilas) czyli

	2		2		2x2		2x1		2x2−2x1
=		−		=		−		=
	x1		x2		x1*x2		x1*x2		x1*x2

	2(x2−x1)
=		>0 dlaczego ?
	x1*x2

wiec tak. Licznik jest dodatni bo zalozenia x₂−x₁>0 to 2(x₂−x₁)>0 Natomiast mianownik x₁*x₂ >0 bo iloczyn dwoch liczb dodatnich jest dodatni −popatrz na przedzial ze to sa liczby dodatnie Wiec f(x₁)−f(x₂)>0 −−−−−−funkcja malejaca .

	2
jesli naszkicujesz wykres funkcji f(x)=		w tym przedziale to zobaczysz ze ta funkcja jest
	x

malejaca . Tyle .

Janek191: Np. Tak:

	2
f(x) =		; x ≠ 0
	x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Niech x₁ , x₂ ∊ ( 0; + ∞ ) i x₁ < x₂ ⇒ x₁ − x₂ < 0 zatem

	2		2		2 x2 −2 x1
f(x1) − f(x2) =		−		=		=
	x1		x2		x1*x2

	2*( x2 − x1)
=		=
	x1*x2

Mianownik jako iloczyn liczb dodatnich jest dodatni; x₂ − x₁ > 0 , bo x₁ − x₂ < 0 ( z założenia ), więc licznik jest też dodatni, zatem

	2*( x2 − x1)
f(x1 ) − f(x2) =		> 0 ⇒ f(x1) > f(x2)
	x1*x2

a więc funkcja f jest malejąca w ( 0 ; + ∞ ).