matematyka dyskreta Paweł: Witam. Prosiłbym o sprawdzenie toku mojego rozumowania, a także poprawienie błędów (również w zapisie): Zadanie 2 jednak mnie przerosło, proszę o wskazanie podpowiedzi, bądź rozwiązanie. 1)Niech X będzie zbiorem liczb parzystych. Określamy relację R⊂X² następująco: ∧ xRy⇔3|(x−y) x,y∊X Zbadać czy R jest relacją równoważności. Jeżeli istnieją wskazać jej klasy abstrakcji. ∧ (xδx⇔3|(x−x) − jest zwrotna x∊R ∧ (xδy⇔3|(x−y)⇔3|(y−x) − nie jest symetryczna x,y∊R ∧ (xδy ⋀ yδz⇔3|(x−y) ⋀ 3|(y−z) − jest przechodnia x,y,z∊R Nie jest to relacja równoważności. Brak klas abstrakcji. P.S Czym się różni w poleceniu X od X²? I co oznacza znak ⊂ ? Tak na chłopski rozum 2)Niech A,B,C będą dowolnymi zbiorami. Udowodnić, że są spełnione następujące równości:( AuB ) x C= (AxC) u (BxC) u − suma Z góry dziękuję

Paweł: <x,y>∊(AuB)xC⇔x∊AuB ⋀ y∊C⇔x∊A ⋁ x∊B ⋀ y∊C⇔(x∊A ⋀ y∊C)⋁(x∊B ⋀ y∊C)⇒<x,y>∊AxC ⋀<x,y>∊BxC⇔<x,y>∊(AxC)u(BxC) Moje rozwiązanie (raczej błędne) zadania drugiego

Paweł: up

Paweł: up

PW: W pierwszym relacja jest symetryczna: jeśli x−y dziali się przez 3, to również y−x dzieli się przez 3. Idzie tu o podzielność w zbiorze liczb całkowitych. Nad przechodniością się prześlizgnąłeś, czy tak rzeczywiście to widzisz "w pamięci"? x−y=3k ⋀ y−z=3m ⇔ x=3k+y ⋀ z=y−3m x−z=3k+y−(y−3m)=3k+3m=3(k+m) k,m∊Z Teraz widzę, że z podzielności x−y przez 3 i z podzielności y−z przez 3 wynika podzielność x−z przez 3. Jest to zatem relacja równoważności, trzeba wyznaczyć klasy abstrakcji. Uwaga techniczna: pod kwantyfikatorami pisałeś "∊R", a powinno być "∊A". Pytanie "czym się różni X od X²" świadczy, że nie bardzo rozumiesz zagadnienie. W tym zadaniu X to jest zbiór liczb parzystych. Z definicji relacja jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego , czyli podzbiór tworu oznaczanego symbolem A×A lub w skrócie A² − zbioru par (x,y), w których x∊A i y∊A. Dlatego pisali, że relacja R⊂A², mogli też napisać R⊂A×A (relacja R jest zawarta w iloczynie kartezjańskim A²).. W tym konkretnym wypadku można tę relację narysować − będą do niej należały takie pary (x,y) liczb parzystych, w których pierwsza liczba różni się od drugiej o wielokrotność 3, np (2,8), (2,11), (2, −20), ...

PW: Ostatnia para ma niepotrzebny minus: powinno być (2,20) (bo 2−20=−18=3•(−6). Może być też (2,−22), bo 2−(−22)=24=3•8. Pewnie to nie ma znaczenia, bo nie widać zainteresowania.