przyjemne równanie różniczkowe :) Sylwia: rozwiąż równanie różniczkowe: xy'=2y−2x y(1)=1 Robię to przez podstaiwnie u ale chyba cos nie tak bo mi nie wychodzi Ktoś pomoże?

Vizer: Jakie podstawienie robisz?

Nienor:

	dy(x)
x		=2y(x)−2x
	dx

dy(x)		2y(x)
	+2=
dx		x

Z: x≠0

	y(x)
t(x)=
	x

y(x)=t(x)x

dy(x)		dt(x)
	=		x+t(x)
dx		dx

dt(x)
	x+t(x)+2=2t(x)
dx

dt(x)
	x=t(x)−2
dx

dt		dx
	=
t−2		x

	dt		dx
∫		=∫
	t−2		x

ln|t−2|=ln|Cx| , C∊ℛ (liczba logarytmowana musi być dodatnia) t−2=Cx t=Cx+2

y
	=Cx+2
x

y(x)=Cx²+2x Sprawdzam: y'=2Cx+2 L=x(2Cx+2)=2Cx²+2x=2(Cx²+2x)−2x=2y−2x=P Dla x=0 y(0)=0 Spełnia równanie. (Mógłby ktoś rozwinąć jak się bada warunki brzegowe) Teraz warunek: y(1)=1 1=C+2 ⇒ C=−1 C²=−1 Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłam

Vizer: Cześć Nienor Wydaje się w porządku, tylko gdy napisałaś C ∊ R, to powinniśmy wykluczyć dla C ≠ 0, bo liczba logarytmowana jak zauważyłaś musi być dodatnia.

	y
Powinniśmy także zrobić założenie na t − 2 ≠ 0 ⇒ t ≠ 2,		≠ 2 ⇒ y ≠ 2x
	x

Teraz rozpatrując co się dzieje dla C = 0 widzimy, że równanie przybiera postać y = 2x, więc to rozwiązanie osobliwe dokładamy do naszego rozwiązania wtedy już dla C ∊ R

Nienor: Touche. Mało zajmowaliśmy się problemami brzegowymi i boję się, ze mogę się, albo w nich strasznie zamieszać, albo o czymś zapomnieć.