liczby , rownania , trudne Natalia92: rozwiąż w liczbach całkowitych układ równań: x³ + y³ + z³ = x + y + z = 2

Natalia92: jak dla mnie to 2 niewiadome są równe 1 i trzecia równa 0, ale nie wiem jak to udowodnić.

JAPON1A: x + y + z = 2 wyznacz Z i podstaw do 1 rownania.

PW: (√x•√x³ + √y•√y³ + √z•√z³)² ≤ (x+y+z)(x³+y³+z³) To jest nierówność Cauchy'ego−Buniakowskiego. Jeżeli miałoby być x³+y³+x³=2 i x+y+z=2, wynikałoby stąd, że (x²+y²+z²)²≤2•2 (x²+y²+z²)≤2, co oznaczałoby, że żadna z liczb naturalnych x, y, z nie może mieć być większa od 1 i nie mogą być równe 1 wszystkie trzy. Wniosek taki jak napisałaś. To jest rozumowanie dla x,y,z naturalnych (a gdyby dopuścić ujemne, to nie wiem).

JAPON1A: dla x,y,z ∊ Z podstawiasz jak mowilem x³ + y + ( 2 − x − y)³ = 2 x³ + y3 + ( 8 − x³ − y³ − 12x + 6x² − 12y + 6y² − 3x²y − 3xy² + 12xy ) = teraz porządkujesz i zapisujesz jako iloczyn 2 wyrażeń, sprawdzasz, masz odp.

PW: Teraz poważniej. Wiadomo, że (x+y+z)³−(x³+y³+z³) = 3(x+y)(x+z)(y+z) Stosując założenie do lewej strony otrzymamy 8−2=3(x+y)(x+z)(y+z) 2=(x+y)(x+z)(y+z) Z założenia, że x+y+z=2 zastosowanego do prawej strony wynika stąd (1) 2=(2−z)(2−y)(2−x). Rozpatrywane liczby są całkowite, zatem (1) oznacza, że czynniki po prawej stronie są równe (bez uwzględniania kolejności): (2) 1, 1, 2 (3) −1, −1, 2 (4) −1, 1, −2 a więc liczby x, y, z (bez uwzględniania kolejności) są odpowiednio równe: (2') 1, 1, 0 (3') 3, 3, 0 (4') 3, 2, 4. Łatwo sprawdzamy, że tylko (2') spełniają założenia. Odpowiedź: Układ równań spełniają trójki: (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1). W książce W. Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb [17. tom Biblioteczki Matematycznej], Warszawa 1986, jest zadanie 198 trochę trudniejsze: x+y+z=x³+y³+z³=3.

Nienor: Hmm... PW oba te zadania robią się łatwe (to drugie ma więcej kombinowania trochę), zaraz jak się zauważy to, co piszesz po słowach ,,Wiadomo, że". Nie wiem ile czasu zajęłoby mi wpadnięcie na takie coś, a że na przyszłość może się przydać, więc ślicznie dziękuję

AS: PW jesteś wspaniały!

JAPON1A: rzeczywiscie niezle to zrobiles, dla ciekawskich moje rozumowanie, jak juz mowilem przeksztalcamy rownanie zapisujac je jako iloczyn 2 = ( x +y ) *( xy − 2(x+y) +4 ) rozważasz dla x+y = −/+ 1 v x+y = −/+ 2 ] odp. jedna z liczb jest rowna 0, dwie pozostele rowne 1