jakobian slawek: Calki krzywoliniowe// Witam@ Dlaczego jak przechodzimy na wspolrzedne biegunowe w calkach krzywoliniowych nie domnazamy jakobiana? Pozdrawiam!

Vizer: To chyba nie tylko w całkach krzywoliniowych

slawek: to inaczej w ktorych calkach dodajemy jakobian przy przejsciu na postac biegunowa a w ktorych nie?

Vizer: Zawsze dodajemy jakobian po przejściu na wsp, biegunowe

slawek: to w krzywoliniowych jednak tez?

Vizer: No a jak liczymy krzywoliniowe, zamieniając na całki wielokrotne, które umiemy policzyć, a tam dopisujemy jakobiana

slawek: podam konkretny przykład może: Całka krzywoliniowa:

	ydx − xdy
∫		, gdzie L jest dodatnio skierowanym okręgiem x2 + y2 = a2.
	x2 + y2

Przechodzę na wsp. biegunowe. Więc x = acost, y = asint, t∊ <0,2π> i mamy wiec:

	asint(−asint) − acost(acost)		−a2
∫ (od 0 do 2π)		= ∫		dt = −t (od 0 do 2π) = −2π
	a2		a2

i taka jest odpowiedz poprawna w ksiazce. NIe domnazalem tutaj jakobiana. Poprzednie zadanie tez wychodzi mi dobrze tylko wtedy jak nie domnazam jakobiana etrapez tez jak cos robi na elipsach czy na okregach, nie domnaza jakobiana jak to wtedy jest naprawde? xD

slawek: podam konkretny przykład może: Całka krzywoliniowa:

	ydx − xdy
∫		, gdzie L jest dodatnio skierowanym okręgiem x2 + y2 = a2.
	x2 + y2

Przechodzę na wsp. biegunowe. Więc x = acost, y = asint, t∊ <0,2π> i mamy wiec:

	asint(−asint) − acost(acost)		−a2
∫ (od 0 do 2π)		= ∫		dt = −t (od 0 do 2π) = −2π
	a2		a2

i taka jest odpowiedz poprawna w ksiazce. NIe domnazalem tutaj jakobiana. Poprzednie zadanie tez wychodzi mi dobrze tylko wtedy jak nie domnazam jakobiana etrapez tez jak cos robi na elipsach czy na okregach, nie domnaza jakobiana jak to wtedy jest naprawde? xD

Vizer: No jakobian w całkach pojedynczych nie występuje, tylko w tych z większymi wymiarami. Z jakobianem to jest taka historia, że by określić współrzędne punktu, to wystarczy nam napisać x = rcosφ i y = rsinφ, ale gdy mamy całkować po jakiejś powierzchni to konieczne jest pewne skorygowanie i tym skorygowaniem jest właśnie jakobian, nie wiem jak to dokładnie opisać

slawek: czyli poczekaj hmm xD Jak wspolrzedne biegunowe mamy w calkach podwojnych, potrojnych lub wiekszych to jakobian mamy a w pojedynczych nigdy nie tak? Nie chce tego jakos rozumiec, chce tylko jutro wiedziec na kole jak sie co robi xD Bo uczyli, ze zawsze przy przejsciu na biegunowe domnazamy jakobian a tu robie krzywoliniowe i zonk xD

Vizer: Tak wydaje mi się, że nie istnieje, bo wyznacznik jakobianu musi być kwadratowy,a dla funkcji jednej zmiennej i wsp, biegunowy, które są w dwóch zmiennych, nie ułożymy takiego wyznacznika, ale to nie jest poparte żadnym mocnym dowodem