Wyznaczyć objętości paola:): Wyznaczyć objętości jednorodnych obszarów ograniczonych powierzchniami: a) z=xy , z=0 , dla 1≤x≤2 , 0≤y≤1 b) x² + y² = 1, z = 0, z=5−x²−y² c) x²+y²+z²=16, x²+y²=z², z≥0 moglby ktos mi pomoc z tym zadankiem?

Vizer: W czym masz problem konkretnie? Z wyznaczaniem granic całkowania, rysowaniem?

paola:): kompletnie nie wiem jak zacząć to zadanie, opuściłam jedne ćwiczenia akurat jak to było i nie potrafię nic z tego ruszyć..

Vizer: To zacznijmy od pierwszego najłatwiejszego, granice całkowania masz ładnie określone teraz tylko zostało stwierdzić, która powierzchnia jest wyżej, z = xy, czy z = 0 dla danych naszych przedziałów. A jaka w ogóle jest interpretacja geometryczna takiej całki podwójnej (rysunek) To co na rysunku to jakiś płat, kawałek powierzchni dla określonych x i y i całka : V = ∫∫_D f(x,y) dx dy To nasza objętość! Jest to analogiczna interpretacja jak przy całce pojedynczej tylko to była powierzchnia pod nią. bardziej ogólnie dla tej całki podwójnej to dodajemy kolejny płat/ płaszczyznę i taka objętość pomiędzy tymi płaszczyznami będzie równa : V = ∫∫_D (f(x,y) − g(x,y)) dx dy Jak widać trzeba określić, która jest wyżej, a która niżej. Tak samo mieliśmy z całką pojednczą, z tymże liczyliśmy pole między krzywymi, w praktyce wiedza czy coś jest wyżej czy niżej niekoniecznie jest przydatna, bo gdy wyjdzie nawet wynik ujemny, można wziąć wartość bezwzględną i wynik się elegancko zgozi. Tyle tytułem wstępu. Więc pytanie do Cb, jak będzie więc wyglądała Twoja całka już iterowana (czyli rozbita na 2 pojedyncze) A i nie wspomniałem o zamianie całki podwójnej na iterowaną : ∫∫_D f(x,y) dx dy = ∫^b_a dx ∫^g(x)_h(x) f(x,y) dy Czyli nasze a,b to ograniczenie na osi iksów, nasze funkcje g(x) i h(x) to ograniczenie jakimś krzywymi.

paola:): wszystko fajnie, ale chciałabym jeśli to możliwe żebyś jeden podpunkt mi rozwiązał żebym zobaczyła metodyke krok po kroku jak się do tego zabrać?

Vizer: To naszą powierzchnię D, na której będziemy całkować mamy podaną w zadaniu, jest to: 1 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 1 Płaszczyzną ograniczającą od góry na tej powierzchni jest z = xy, powierzchnią na dole z = 0, więc objętość tej bryły pomiędzy tymi dwoma płatami można zapisać następująco (od razu na iterowaną przechodząc):

	1		1
V = ∫21 dx ∫10 (xy − 0) dy = ∫21 [		xy2]10 dx = ∫21		x dx =
	2		2

	1		1		3
= [		x2]21 = 1 −		=
	4		4		4

Czyli najpierw liczysz całkę najbardziej wewnętrzną i 'x' traktujesz jako stałą, a 'y' jako zmienną, potem drugą całkę tu Ci już zostanie jedna zmienna 'x'.