Równanie różniczkowe Elaa:

	y
y` +		= lnx
	x

Nie potrafię tego policzyć Pomoże ktoś?

Vizer:

	y
Powinno zadziałać podstawienie za t =
	x

Elaa: Nigdy tak tego nie rozwiązywałam z podstawieniem. Powinno wyjść to normalnie ze zmiennych rozdzielonych. Dalej nie wiem jak...

Vizer: Nie wszystko się da od razu ze zmiennych rozdzielnych Jak chcesz to mogę to rozpisać.

Elaa: Bardzo Cie prosze...

Elaa: dodam też, że y(1)=1

Elaa: Pomoże ktos?

Vizer: Eh, jednak to takie proste nie było, to podstawienie nie zadziała niestety i rozwiązań to należy jako równanie niejednorodne, czyli najpierw liczysz to jako jednorodne, potem uzmienniasz stałą, wstawiasz z powrotem do równania i wyliczasz. Jeśli będzie Ci to jeszcze potrzebne to daj znać.

Elaa: Jest jeszcze potrzebne. Bardzo proszę jak możesz to rozwiąż albo ktos inny jesli wie jak...

Vizer: No to tu mamy typ równania różniczkowego liniowego niejednorodnego postaci: y' + p(x)y = g(x) Liczymy więc najpierw równanie jednorodne równania:

	y
y' +		= 0
	x

dy		y
	= −
dx		x

dy		dx
	= −
y		x

ln|y| = −ln|x| + C ln|y| = −ln|x| + ln|C| e^ln|y| = C * e^−ln|x|

	1
|y| = C *
	|x|

	1
y = C *
	x

To jest nasze rozwiązanie równania jednorodnego. Uzmienniamy stałe:

	1
y = C(x) *
	x

	1		1
y' = C'(x) *		− C(x) *
	x		x2

Wstawiamy do naszego równania wejściowego:

	1		1		C(x)
C'(x) *		− C(x) *		+		= lnx
	x		x2		x2

	1
C'(x) *		= lnx
	x

C'(x) = xlnx C(x) = ∫ xlnx dx

	1
∫ xlnx dx = ... =		x2(2lnx − 1) + C
	4

	1		1
y =		x2(2lnx − 1)		+ C
	4		x

Łączymy rozwiazanie z rozwiązanie równania jednorodnego:

	C		1		1
y =		+		x2(2lnx − 1)
	x		4		x

Enjoy