algebra dawid: Trivial, Vizer, Krzysiek moglibyście zerknąć na to zadanie? I powiedzieć jak należy jest wykonać. | 1 2 3 | | 2 1 4 | | 4 7 8 | i trzeba dla niej wyznaczyć B rozpiętej przez jej w oraz k. B − baza przest. w − wiersze k − kolumny

dawid:

dawid:

dawid:

dawid:

dawid:

dawid:

dawid:

bezendu:

dawid:

dawid:

Nienor: Z tego co kojarzę to do tego się dopisywało po lewej macierz jednostkową i Gaussem zerowało się co się da, co dokładnie się robiło później nie pamiętam.

dawid: naprawdę nikt nie wie ?

b.: ktoś pewnie wie, ale pytanie było do: Trivial, Vizer, Krzysiek

dawid: bo oni zazwyczaj odpowiadali, dlatego tak napisałem b. mógłbyś pomóc ?

Vizer: Ja bym odpowiedział jakbym był odpowiednio kompetentny

dawid: szkoda, że nie mam odpowiedzi − w sensie do każdego zadania, które robię

dawid:

dawid:

dawid: Vizer, a rozumiesz może dobrze wyznaczniki ?

Vizer: Z liczeniem pewnie problemu nie będzie

dawid: Wiedząc, że A i B to macierze 3 x 3 oraz det(A) = 4 i det(B) = 5 wylicz wyznacznik: det(AB), det(3A), det(2AB), det(A⁻¹B)

Vizer: To z własności wyznacznika, że : det(A * B) = detA * detB

dawid: a masz może gdzieś pod ręką dowód takiej własności, albo chociaż napisane, że coś takiego jest ? bo wtedy wydaje mi się za proste

Vizer: http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cauchy'ego_(teoria_wyznacznik%C3%B3w)

dawid: ok, czyli: det(AB) = 20 det(3A) = 12 det(2AB) = 40

	5
det(A−1B) =
	4

Trivial: dawid, aby wyznaczyć bazę rozpiętą przez wiersze należy wyeliminować macierz Gaussem (do możliwie jak najprostszej postaci). Z tej postaci odczytujemy bazę tworzącą przestrzeń wierszową (RowSpace(A)). A dla kolumn robimy to samo, tylko najpierw macierz transponujemy. ColumnSpace(A) = RowSpace(A^T)

Vizer: Czyli Trivial jeśli rząd tej macierzy wyjdzie 3 to mamy 3 wierszowe wektory tworzące bazę? Może czegoś się jeszcze nauczę z tej algebry

dawid: Trivial, ale wyznaczyć bazę, czyli chyba jakieś liczby

dawid: mógłbyś pokazać jak to należy zrobić ?

Vizer: Przekształć ją najpierw do postaci schodkowej, potem może pomyślimy

dawid: | 1 3 2 | | 2 1 4 | | 4 7 8 | 1) w₂ : w₂ − 2*w₁ | 1 3 2 | | 0 −5 0 | | 4 7 8 | 2) w₃ : w₃ − 4*w₁ | 1 3 2 | | 0 −5 0 | | 0 −5 0 | 3) w₃ = w₃ + w₂ | 1 3 2 | | 0 −5 0 | | 0 0 0 | i jak z tego odczytać ?

dawid: mówisz masz

Vizer: W pierwszym wierszu przepisałeś inaczej niż na górze masz

dawid: wiedziałem, że za łatwo poszło

dawid: | 1 2 3 | | 2 1 4 | | 4 7 8 | w₃ : w₃ − 4*w₁ | 1 2 3 | | 2 1 4 | | 0 −1 −4 | w₂ : w₂ − 2*w₁ | 1 2 3 | | 0 −3 −2 | | 0 −1 −4 | w₃ : w₂ + 3*w₃ | 1 2 3 | | 0 −3 −2 | | 0 0 −10 |

Trivial: Jeśli nie ma błędu w przekształceniu, to bazą przestrzeni wierszowej są wektory: 1 0 0 2, −3, 0 3 −2 −10

dawid: no ale mamy podać bazę, więc nie wystarczy podać jednego ? i jak to formalnie zapisać ?

Trivial: Vizer. Dla macierzy o rzędzie r mamy r−wymiarową bazę wierszową i r−wymiarową bazę kolumnową. Jeżeli macierz dodatkowo jest kwadratowa i r = n, to bazą przestrzeni zarówno wierszowej jak i kolumnowej jest np. znana i lubiana sekwencja: [1 0 0 ... 0]^T [0 1 0 ... 0]^T [0 0 1 ... 0]^T ........ [0 0 0 ... 1]^T

Trivial: dawid, nie można podać jednego, bo te wektory nie są współliniowe. Czytając od prawej mamy coraz więcej "nie−zer".

dawid: dla macierzy: [1 2 −1 1] [2 4 −3 0] [1 2 1 5] wykonuje: w₂ : w₂ − 2w₁ w₃ : w₃ − w₁ i mam | 1 2 −1 1 | | 0 0 1 2 | | 0 0 0 0 | i jak tutaj będzie z tymi wierszami ?

dawid: czy ten przykład z 21:43 zapisać: [ 1 ] [ 0 ] | 2 | i | 0 | |−1 | | 1 | [ 1 ] [ 2 ] ? jeżeli tak, to to co napisałeś wyżej − nie powinno być odwrotnie ?

Trivial: Ignorując błędy w rachunkach tutaj i też wyżej, jest tak jak napisałeś, a nie odwrotnie (co to znaczy odwrotnie?)

dawid: i wiesz może jak udowodnić, że jeżeli a < b i X ∊ M_{a x b} ( R ) oraz Y ∊ M_{b x a} ( R ) to det(YX) = 0

dawid: czyli mam napisać tak jakby trzy pionowe kolumny ? (odnośnie wierszowanych form)

Trivial: To czy sobie napiszesz te wektory wierszowo czy też kolumnowo nie ma wielkiego znaczenia. Ja zawsze zapisuję wektory kolumnowo − uważam że jest czytelniej, choć na tym forum nieszczególnie. Żeby pokazać, że wyznacznik det(YX) = 0 wystarczy pokazać, że równanie YXu = 0 ma niezerowe rozwiązania. Zauważmy też, że jeśli Xu = 0 to również YXu = 0, zatem wystarczy rozwiązać Xu = 0 Skoro a < b oraz X_a×b (Y ma więcej kolumn niż wierszy). Wektory tworzące poszczególne kolumny na pewno nie są liniowo niezależne (przynajmniej jeden z nich da się utworzyć z kombinacji pozostałych). Wybieramy niezerową kombinację, która doda się do zera − jest to nasze przykładowe rozwiązanie u (u ≠ 0).

Trivial: poprawka: X_a×b (X ma więcej kolumn niż wierszy) ...

dawid: a co u Ciebie oznacza u ? − zwykłą zmienną ?

b.: Wracając jeszcze do >> Wiedząc, że A i B to macierze 3 x 3 oraz det(A) = 4 i det(B) = 5 odpowiedź >> det(3A) = 12 jest niepoprawna, powinno być det(3A) = 3³*4 = 108