Zbieznosc Szerefo przemiennego: Ania: Moze ktos sprawidz poprawnosc rozwazania? http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/6b67c1402daa3de8.html http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/42a2e6bca100c047.html

Ania: Zadanie to , zbadaj zbieznosc szeregu przemiennego .

Basia:

1		1
	<
n2		n

	1
czy z tego wynika, że ∑		jest rozbieżny ?
	n2

oczywiście nie

	n−1		1
tak samo z tego, że		<		nie wynika, że jest to szereg rozbieżny
	n2+5		2n

w drugim jaki szereg właściwie badasz ?

Basia: a już rozumiem dobrze; tylko mały błąd rachunkowy

	n−1
an =
	n2+5

	n
an+1 =
	n2+2n+6

	n(n2+5) − (n−1)(n2+2n+6)
an+1 − an =		=
	(n2+5)(n2+2n+6)

n3+5n − n3 − 2n2 − 6n + n2 + 2n + 6
	=
(n2+5)(n2+2n+6)

−n2+n + 6
(n2+5)(n2+2n+6)

Δ = 1 + 24 = 25 √Δ = 5

	−1−5
n1 =		= 3
	−2

	−1+5
n2 =		= −2
	−2

−n²+n+6 = −(n−3)(n+2) dla n≥4 licznik < 0 ⇒ dla n≥4 ciąg jest nierosnący lim a_n = 0 na mocy kryterium Leibnitza szereg jest zbieżny i tyle nie zawracaj sobie głowy bezwzględną zbieżnością (chyba, że musisz)

Ania: dzieki Basiu

Basia: Przy okazji pokażę jak udowodnić, że

	n−1
∑		jest rozbieżny.
	n2+5

	n
Otóż dla każdego n>2 : n2+5 < n2+n2 i n−1 >
	2

(można to łatwo udowodnić indukcyjnie) stąd

	n−1		1		n2
∑		≥ 0 +		+ ∑n=3....		=
	n2+5		9		2n2

1		1
	+ ∑n=3....		=
9		4n

1		1		1		1		1
	+		∑		−		−		=
9		4		n		4		8

8−18−9		1		1		19		1		1
	+		∑		= −		+		∑
72		4		n		72		4		n

a to oczywiście szereg rozbieżny