indukcja matematyczna zadanie:

	1		1		1		1		1		1		1
1−		+		−		+...−		=		+		+...+
	2		3		4		2n		n+1		n+2		2n

1^o spr. dla n=1

	1		1		1		1		1
L=1−		=		; P=		+		+...+		? nie jest rowne?
	2		2		2		3		2

JAPON1A: chodzi o takie rozumowanie: dla n = 1 1 − 1/2 = 1/n+1 1− 1/2 = 1/2 dla n+1 [ 1 − 1/2 + 1/3 −1/4 + ... −1/2n ] + 1/(2n+1) − 1/(2n+2) = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/2n + 2 [ 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n ) + 1/(2n+1) − 1(2n+2) = 1/( n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/ 2n + 2 podmianę z zal. zapisalem w nawiasie kwadratowym, prawie wszystko sie skraca, na koniec otrzymujesz: 1/n+1 − 1/2n+2 = 1/2n+2 => 1/n+1 = 2*1/(2n+2) = 2/(2n+2) = 1/(n+1)

zadanie: nie rozumiem tego zrobie tak jak ja zawsze robie

	1		1		1		1		1		1		1
zal. ind. dla n=k: 1−		+		−		+...−		=		+		+...+
	2		3		4		2k		k+1		k+2		2k

teza ind. dla n=k+1:

	1		1		1		1		1		1		1
1−		+		−		+...−		=		+		+...+
	2		3		4		2k+2		k+2		k+3		2k+2

dowod:

	1		1		1		1		1		1
L=1−		+		−		+...−		+		−		=(korzystajac z zalozenia mam)=
	2		3		4		2k		2k+1		2k+2)

1		1		1		1
	+		+...+		−		czy to jest dobrze? nie wiem teraz jak dojsc do
k+1		k+2		2k		2k+2

prawej strony tezy?

zadanie: ?

wredulus_pospolitus: błąd korzystając z założenia masz

	1		1		1		1
L =		+ ... +		+		−
	k+1		2k		2k+1		2k+2

wredulus_pospolitus:

	1		2		2
wskazówka:		=		=
	k+1		2(k+1)		2k+2

zadanie:

2

1

1

1

1

1

1

L=

+...+

+

−

=

+

+

i co dalej? nie

2k+2

2k

2k+1

2k+2

2k+2

2k

2k+1

	1		1
wiem; po prawej stronie jest jeszcze		+		ale nie wiem jak do tego dojsc?
	k+2		k+3

wredulus_pospolitus: co Ty robisz jeszcze raz i powoli:

	1		1		1		1		1
L = (1 −		+ .... +		−		) +		−		=
	2		2k−1		2k		2k+1		2k+2

// wartość w zielonym nawiasie przekształcasz wykorzystując założenie ind. //

	1		1		1		1
= (		+ ... +		) +		−		=
	k+1		2k		2k+1		2k+2

	1		1		1		1		1
=		+ (		+ ... +		+		) −		=
	k+1		k+2		2k		2k+1		2k+2

// zauważ że to co jest w czerwonym nawiasie to już PRAWIE prawa strona .. teraz wykorzystujesz moją wskazówkę //

	1		1		1		2		1
= (		+ ... +		+		) +		−		=
	k+2		2k		2k+1		2k+2		2k+2

	1		1		1		1
= (		+ ... +		+		) +		=
	k+2		2k		2k+1		2k+2

	1		1		1		1
=		+ ... +		+		+		= P
	k+2		2k		2k+1		2k+2

c.n.w.

zadanie: dziekuje bardzo

zadanie: mam jeszcze jedno zadanie z ktorym tez mam problem

	nx   (n+1)x   sin *sin   2   2
sinx+sin2x+sin3x+...+sin(nx)=
	x   sin   2

2^o

	kx   (k+1)x   sin *sin   2   2
zal.ind. dla n=k: sinx+sin2x+sin3x+...+sin(kx)=
	x   sin   2

teza ind. dla n=k+1:

	(k+1)x   (k+2)x   sin *sin   2   2
sinx+sin2x+sin3x+...+sin[(k+1)x]=
	x   sin   2

dowod: L=sinx+sin2x+sin3x+...+sin(kx)+sin[(k+1)x]=

kx   (k+1)x   sin *sin   2   2
	+sin[(k+1)x]=
x   sin   2

	kx   (k+1)x   x   sin *sin +sin *sin[(k+1)x]   2   2   2
=
	x   sin   2

i teraz nie wiem co mam zrobic dalej?wydaje mi sie ze musze skorzystac z jakiegos wzoru ale nie wiem z jakiego. moglbym prosic o napisanie jaki ma to byc wzor i do jakiego wyrazenia mam go zastosowac?

zadanie: ?

Mila: L=....= drugi składnik z drugiej linijki z 17:04 rozpisuję z wzoru sin2α=2sinα*cosα

	kx   (k+1)x   sin *sin   2   2		(k+1)x		(k+1)x
=		+2sin		*cos		=
	x   sin   2		2		2

	(k+1)x   sin   2		kx		x		(k+1)x
=		*(sin		+2sin		*cos		)=(*)
	x   sin   2		2		2		2

	x		(k+1)x
Teraz zamienię iloczyn 2sin		*cos		na różnicę sinusów:
	2		2

Wzór:

	A+B		A−B
sinA−sinB=2 cos		*sin
	2		2

A−B		x
	=
2		2

A+B		(k+1)x
	=		po rozwiązaniu:
2		2

	(k+2)x		kx
A=		i B=
	2		2

	(k+1)x   sin   2		kx		(k+2)x		kx
(*)=		*(sin		+sin		−sin		)=
	x   sin   2		2		2		2

	(k+1)x   sin   2		(k+2)x
=		*sin		=P
	x   sin   2		2

cnw

zadanie: dziekuje

	x
nie rozumiem tylko skad sie wzielo w drugiej linijce w nawiasie 2sin		jak wyzej bylo
	2

	(k+1)x
2sin		?a tak w ogole nie wpadlbym na to ze tam trzeba bedzie skorzystac ze wzoru na
	2

podwojony argument

Mila: Zostało sprowadzone do wspólnego mianownika i wyłączone z licznika

	(k+1)x		x
sin		a z mianownika sin		.
	2		2