. asdf: Witam Korzystając z definicji całki oznaczonej uzasadnić podaną równość:

	1		1		1		1		4
limn→∞(		+		+		+ .. +		) = ln
	3n+1		3n+2		3n+3		3n+n		3

Basia:

1		1		1
	=		*
3n+k		n		3+kn

	1
jeżeli weźmiesz funkcję f(x) =
	3+x

dostaniesz to co trzeba, bo: dzielisz odcinek <0;1> na n równych i wtedy dostalesz

	1		1		1
0∫1		dx = limn→+∞ ∑k=1,...,n		*
	3+x		k		3+1k

	4
L = ln(3+x) 0|1 = ln4 − ln3 = ln
	3

	1		1		1		k
P = ∑k=1,...n		*		= ∑k=1,...n		*		=
	k		3k+1   k		k		3+k

	1
∑k=1,...n		= Twojej sumie
	3+k

asdf: dzieki bardzo pozniej zadam kilka pytan, jak wroce z podrozy

asdf:

	1		1
dlaczego odcinek <0;1> i skąd otrzymałaś ∑k=1n		*		?
	k		1   3+   k

wiem, że podzieliłaś to i to rozumiem, tylko jeszcze skąd się wzięło ln(3+x)?

Basia: to trzeba widzieć asdf

	1
a∫b f(x) dx = limn→+∞ ∑k=1....n		*f(a+kn)
	n

to masz z definicji całki Twoją sumę (tylko zapisana przy pomocy ∑ bo leniwa jestem) wygląda tak

	1
∑k=1....n
	3n+k

	1		1
przekształcam do postaci ∑k=1...n		*
	n		3+ kn

no i teraz muszę sobie znaleźć przedział i funkcję, które pasują

	1
a pasuje <0,1> i funkcja f(x) =
	3+x

bo jak podzielę <0,1> na n odcinków mam punkty: ¹_n, ²_n,.....,^k_n,....,ⁿ_n i wartości

1		1		1		1
	};		;.....;		;....;
3+1}[n		3+2n		3+kn		3+nn

a długość każdego przedziału = u{1_n no to z definicji całki mam

	1		1		1
0∫1		dx = limn→+∞ ∑k=1...n		*
	3+x		n		3+kn

całkę przecie umiesz policzyć

Basia:

	1
równie dobrze pasuje f(x) =		na odcinku <3,4>
	x

bo wtedy

	1		n
x1 = 3+1n i f(x1) =		=
	3+1n		3n+1

..............

	1		n
xk = 3+kn i f(xk) =		=
	3+kn		3n+k

............

	1		n
xn = 3+nn = 4 i f(xn) =		=
	3+nn		3n+n

stąd i z definicji całki oznaczonej masz

	1		1
3∫4		dx = limn→+∞ ∑k=1,...,n		*f(xk) =
	x		n

	1		n
limn→+∞ ∑k=1,...,n		*		=
	n		3n+k

	1
limn→+∞ ∑k=1,...,n		= Twoja suma
	3n+k

	1
∫		dx = ln|x|
	x

	1		4
3∫4		dx = ln|x| 3|4 = ln4−ln3 = ln
	x		3

rozumiesz ?

asdf: dziekuje bardzo, jeszcze nie do konca te przedziały, ale chyba ogarne to Dzieki raz jeszcze

asdf: obliczyć:

	n		n		n
limn→ ∞ (		+		+ ... +		) =
	n2+12		n2+22		n2+n2

	n
limn→ ∞ ∑ni=1		=
	n2+i2

	n
limn→ ∞ ∑ni=1		=
	i2   n(n+ )   n

	1
limn→ ∞ ∑ni=1		=
	i2   n+   n

	1	1
limn→ ∞ ∑ni=1			=
	n	i2   1+   n2

	1		1
limn→ ∞ ∑ni=1		*		=
	n		i   1+( )2   n

	1		1
limn→ ∞		* ∑ni=1		i teraz trzeba policzyć całke z:
	n		i   1+( )2   n

teraz otrzymuje: dla i = 1:

	1
limn→ ∞		= 0
	n2

dla i = n:

	n2
limn→ ∞		= 1
	n2

czyli biore przedział <0;1> we wzorze tam jest:

	i		i
∑(...)f(a +		), ale teraz te		jest do kwadratu, czyli taka bedzie całka?:
	n		n

	1 0		1
∫				dx = ...
			1+x2

asdf: jeszcze mam takie coś:

	1		(1+n)(2+n)...(n+n)
limn→∞		ln		=
	n		nn

	1		i+n
limn→∞		∑ni=1 ln(		)
	n		nn

z drugiej strony jest taki sam stopien w liczniku jak w mianowniku, jak to zrobić?

asdf: jeszcze mam coś takiego: korzystając z całki Riemanna oblicz granice poniższych ciągów:

1		1		1
	+		+ ... +		=
√4n2 − 12		√4n2 − 22		√4n2 − n2

	1		1
∑ni=1		= ∑ni=1		=
	√4n2 − i2		i   √n2(4 − ( )2)   n

1		1
	∑ni=1		=
n		i   √4 − ( )2   n

dla i = 1:

	i
(		)2 → 0
	n

dla i = n:

	i
(		)2 → 1
	n

dam przedział <0;1>

	1 0	1
∫			dx = ...wzór jest juz mi sie nie chce liczyć − to juz dam rade
		√4−x2

tak jest ok?

asdf: zebym nie zapomnial linku na jutro (sobie tutaj zapisze): http://home.agh.edu.pl/~zygmunt/lista_zadan_anII.pdf

asdf: chyba mam:

	1		(1+n)(2+n)..(n+n)
limn→∞		* ln(		) =
	n		nn

	1		1   2   n(1+ )n(1+ )..n(1+1)   n   n
limn→∞		* ln(		) =
	n		nn

	1		1   2   (1+ )(1+ )..(1+1)   n   n
limn→∞		* ln(		) =
	n		n

	1		1   2   (1+ )(1+ )..(1+1)   n   n
limn→∞		* ln(		) =
	n		n

	1		i   1+   n
limn→∞		* ∑ni=1 ln(		) =
	n		n

	1		1		i
limn→∞		* ∑ni=1 ln(		+		) =
	n		n		n2

	1		1		i
limn→∞		* ∑ni=1 ln(		+		)
	n		n		n2

i jak to zrobić?

asdf: ?

asdf:

pigor: ...a na początku nie mógłbyś skrócić tu :

	nn(1+1n)(1+2n)* ... * (1+nn)
... = lim n→∞1n ln (		) =
	nn

= lim _n→∞ ¹_n ln (1+¹_n)(1+²_n)* ... * (1+ⁿ_n) = = lim _n→∞ ( ln (1+¹_n)^1/n + ln(1+²_n)^1/n + ... + ln(1+ⁿ_n)^1/n) = ... i może dalej ... sam

asdf: no to wlasnie tak zrobilem tylko chyba bylo juz pozno i zle koncowke przekształciłem, winno być:

1		i
	* limn→∞ ∑ni=0 ln(1+		)
n		n

i teraz całke: ∫¹₀ ln(1+x) dx ..i koniec?

asdf:

Basia: asdf zrób sobie najpierw kilka zadań "w drugą stronę" wtedy powinieneś zrozumieć Policz wprost z definicji całki Riemana: No może nie policz, ale zapisz w postaci granicy szeregu ₀∫¹ x² dx

	1
3∫4		dx
	x

	1
0∫1		dx
	1+x

₁∫² lnx dx a ostatnie jest dobrze, chociaż równie dobrze może to być ostatnia z tych, które Ci napisałam

asdf: "zrob sobie kilka zadan w druga strone − wtedy powinienes zrozumiec" − ale czego nie rozumiem? Wydaje mi sie to juz wszystko jasne..

	1 0		2 1		3 2
∫		ln(1+x) dx = ∫		ln(x) dx = ∫		ln(x−1) dx

itd..

Basia: no to dobrze, ale co to za cudaczne symbole ? rozumiem co masz na myśli i to jest poprawne, ale to co napisałeś jest oczywistą nieprawdą

asdf: nieprawdą są równości?

Basia: a co ? ∫ln(1+x)dx = 2∫lnx dx = 3∫ln(x−1)dx ?

	1 0		2 1		3 2
przecież:		=1		= 2		= 3

₀∫¹ln(1+x) dx = ₁∫²lnx dx = ₂∫³ln(x−1) dx

asdf: ...to są granice całkowania , czyli to samo mi wyszło

Basia: tak zrozumiałam; ale zapis koszmarny

asdf: jak moje pismo Jestem przyzwyczajony