zamiana ułamków Mimi: Pomocy! Rozwinięcie dziesiętne pewnego ułamka wlaściwego o mianowniku 11 ma na 444 miejscu po przecinku cyfrę 4, a na 555 miejscu cyfrę 5. Przedstaw ten ułamek w postaci ułamka zwykłego.

AS:

	50
Jest to ułamek		= 4.545454...
	11

Na drugim,czwartym i każdym następnym parzystym miejscu ma cyfrę 4 a na pierwszym,trzecim i każdym następnym nieparzystym miejscu cyfrę 5.

Mimi: OK! Dzięki za wyjaśnienie.

Mimi: Widzę As, że z Ciebie tęga głowa. A może nprowadzisz mnie w podobnym zadaniu: Dwa ułamki o jednakowych licznikach mają mianowniki równe 7 i 11. Pierwszy z nich ma na 111111 miejscu w rozwinięciu dziesiętnym taką samą cyfrę, jaką ma drugi na 777777 miejscu. Jaka cyfra stoi na 171717171717 miejscu po przecinku w rozwinięciu sumy tych ułamków?

AS: Mimi,widzę że bawisz się w Pana Tawrdowskiego i zadajesz coraz to trudniejsze zadania.. Chyba z dziedziny teorii liczb. Po bardzo problematycznych i karkołomnych sztuczkach uzyskałem 0 ale to bardzo wątpliwy wynik. A co do tej tęgiej głowy to trochę ponad tabliczkę mnożenia.

Mimi: Nie, to nie teoria liczb, lecz gimnazjum − profil rozszerzony. Ale i tak dużo As mi pomogłeś.

AS: Podaję wyniki moich dociekań − ale przyjmij z pewną ostrożnością,może być nie tak. Podaję rozwinięcia dziesiętne ułamków 1/7 ... 9/7 i 1/11.... 9/11 1/7 = 0.142857 1/11 = 0.090909 2/7 = 0.285714 2/11 = 0.181818 3/7 = 0.428571 3/11 = 0.272727 4/7 = 0.571428 4/11 = 0.363636 5/7 = 0.714285 5/11 = 0.454545 6/7 = 0.857142 6/11 = 0.545454 7/7 = 1.000000 7/11 = 0.636363 8/7 = 1.142857 8/11 = 0.727272 9/7 = 1.285714 9/11 = 0.818181 W przypadku ułamka o mianowniku 7 wynikiem dzielenia jest liczba okresowa o okresie 6−cyfrowym Na odcinku 1111111 tych okresów będzie 111111/6 = 18518 i reszta 3 Oznacza to,że wystarczy analizować trzecią cyfrę w pierwszym okresie W przypadku ułamka o mianowniku 11 wynikiem dzielenia jest liczba okresowa o okresie 2−cyfrowym Na odcinku 777777 tych okresów będzie 777777/2 = 388888 i reszta 1 Oznacza to,że wystarczy analizować pierwszą cyfrę w pierwszym okresie Porównując rozwinięcia dziesiętne obu ułamków tylko 4 wchodzi w rachubę gdyż ułamek 5/7 na trzecim miejscu posiada cyftrę 4 a ułamek 5/11 na pierwszym miejscu 4.

	4		4		72
Suma ułamków 4/7 i 4/11 wynosi		+		=
	7		11		77

Watość ułamka

72
	= 0.9350649350...
77

Jest to ułamek okresowy o okresie 6 cyfr. Na odcinku 171717171717 tych okresów będzie 171717171717/6 = 28617952 reszta 1 Oznacza to,żw szukaną liczbą jest pierwsza cyfra ułamka 72/77 czyli 9

Mimi: Widzę, że to zadanie nie dawało Ci spokoju. Storotne dzięki za wyjaśnienie. Muszę na spokojnie to rozwiązanie sobie przmyśleć.

Mimi: As, jestem po analizie Twojego rozwiązania. Nie wiem dlaczego sumujesz ⁴₇ i ⁴₁₁ a nie ⁵₇ i ⁵₁₁. Poza tym resztę ogarniam.

AS: A dlaczego 5 skoro wspólną cyfrą jest 4

Mimi: Tak, zgadzam się, Chociaż na początku wydawało mi się że należy sumować ułamki, w rozwinięciach których znajduje sie cyfra 4.

AS: Tak,ale nie wykluczam możliwości że Ty masz rację. To kwestia interpretacji.

	5		5		13
Tylko że		+		= 1		a więc zawiera całość
	7		11		77

choć nie jest to dowodem przeciw. Musisz to już w klasie z uczącym przedyskutować gdzie jest prawda.

AS: Po przemyśleniu skłaniam się przyznać Tobie rację, 4 jest elementem rozwinięcia ułamka a nie samego ułamka.

	13
Tym ułamkiem po zsumowaniu jest 1		a pierwszą cyfrą
	77

po rozwinięciu jest 1. Niemniej przedyskutuj to w klasie.

Zuźka: 1.Oblicz: 7 całych i 1/2 * 2 całe 3/5 2,89 * 6,9 4 całe 4/5 : 1 całą 5/7 59,596:6,34 1,6 − (1 cała 3/5 + 4/5 * 0,625) : 0,2 Proszę o pomoc