eliminacja gaussa - układ równań dawid: Eliminacja Gaussa − układ równań − znajdź i zapisz formalnie zbiór rozwiązań. Ponadto do każdego przykładu rozpatrz osobny układ jednorodny i napisz bazę jego przestrzeni rozwiązań.

	⎧	−x −y = 1
a)	⎨	2x + 3y = 2
	⎩	x + 2y = 5

od czego zacząć i czy można prosić o napisanie co to jest układ jednorodny, bo trochę tego polecenia nie rozumiem.

dawid: | −1 −1 1 | | 2 3 2 | | 1 2 5 | w₃ : w₃ − w₂ | −1 −1 1 | | 2 3 2 | | −1 −1 3 | w₃ : (−1)w₃ | −1 −1 1 | | 2 3 2 | | 1 1 −3 | w₃ : w₃ + w₁ | −1 −1 1 | | 2 3 2 | | 0 0 −2 | w₂ : w₂ + 2 * w₁ | −1 −1 1 | | 0 1 4 | | 0 0 −2 | doprowadziłem do postaci schodkowej i co dalej ?

dawid:

dawid:

dawid:

dawid: może ktoś pomóc ?

dawid:

Vizer: Jeśli tak Ci wyszło to układ jest sprzeczny.

dawid: dlaczego − na jakiej podstawie to się wnioskuje ?

dawid:

Krzysiek: układ sprzeczny bo: 0*x+0*y=−2 sprzeczność

Vizer: Rząd macierzy głównej układu równy 2, a uzupełnionej równy 3, z tw. Kroneckera Capellego układ sprzeczny.

dawid: a te pozostałe działania − które są podane w poleceniu, czyli u. jednorodny, bazy itp. nie wykonujemy ?

dawid:

dawid: chyba nie ta pora

Vizer: Pewnie jak sprzeczny to nie ma co wykonywać.

dawid: to mam przykład

	⎧	2x + z + w = 5
	⎜	y − w = 1
b)	⎨	3x − z − w = 0
	⎩	4x + y + 2z + w = 9

dawid: czy można zamieniać wiersze przy rozwiązaniu układu równań

Vizer: Można.

dawid: masz może jakiś pomysł jakie operacje tu wykonać? myślałem nad: w₁ <−> w₃ w₄ : w₄ − 2*w₃ i nie wiem co dalej

Vizer: Znasz kurs e−trapez ?

dawid: jeżeli się nie pomyliłem: 1) w₄ : w₄ − 2*w₁ 2) w₄ : w₄ − w₂ i w drugim kroku otrzymujemy: | 2 0 1 1 5 | | 0 1 0 −1 −1 | | 3 0 −1 −1 0 | | 0 0 0 0 0 | doprowadzać to do postaci schodkowej, czy skoro mamy same zera w 4 wierszu to coś znaczy ? kurs e−trapez znam, o macierzach niestety mało praktycznych przykładów

dawid: jeżeli trzeba doprowadzić do postaci schodkowej to:

	1
3) w3 : (		)*w3
	3

4) w₃ : 2 * w₃ − w1 | 2 0 1 1 5 | | 0 1 0 −1 −1 |

	5		5
| 0 0 −		−		−5 |
	3		3

| 0 0 0 0 0 | i co dalej z tym ?

dawid:

Vizer: Jeśli wszystko dobrze policzyłeś, to taki układ będzie miał 1 parametr, bo powołując się na Kroneckera − Capellego, że rzA = rz(A|U) < n, u Ciebie rzA = rz(A|U) = 3, a n = 4, czyli masz 4 − 3 = 1 parametr.

dawid: ale o co chodzi z tym parametrem ? jak to dalej pociągnąć oraz czy istnieje jakaś możliwość sprawdzenia, czy dobrze obliczyłem ?

dawid:

dawid:

dawid:

dawid:

dawid:

asdf: chodzi o to, ze zmienna zalezy od innej zmiennej − czyli tego parametru, ktory nalezy do rzeczywistych, np. x = 2+t y = 3+ 8t czyli mozesz dac dowolna wartosc t (bo nalezy do R), i ten uklad zawsze bedzie prawdziwy. Obejrzyj sobie etrapeza: http://www.dailymotion.com/video/xxvnkx_uklad-rownan-z-parametrem-metoda-gaussa_school

dawid: moglibyście pokazać jak to poprawnie rozwiązać do końca ? a ja postaram robić się resztę przykładów analogicznie

asdf: przeciez masz w etrapezie wytlumaczone.

dawid: ale nie rozumiem po co tutaj ten parametr ? po co dokładnie podstawiamy

asdf: przykladowo na koncu wychodzi Ci macierz 4 x 6 (tak jak na rysunku) robisz takie cos, by byla to macierz jednostkowa, (wszystkie wartosci w niebieskim kwadracie maja miec zero, a na przekątnej − rozowej maja byc jedynki). wtedy mozesz meic takei cos: x − 3u+5v = 43 y + 394u − v = 2456 z + 2u+4v = 5432 t + u + v = 12345 wtedy mozesz to zapisac: x = 43 + 3u − 5v y = 2456 − 394u + v z = 5432 − 2u − 4v t = 12345−u−v jak widac u i v są zmiennymi, czyli nie mozna ich okreslic (o ile dobrze pamietam) zamiast u dajesz α, zamiast v dajesz β (tak sie przyjelo), zakladasz, ze α,β ∊ R. Otrzymujesz więc układ rozwiązań:

⎧	x=43 + 3α − 5β
⎜	y=2456 − 394α + β
⎨	z=5432 − 2α − 4β
⎩	t =12345−α−β

dodatkowo musisz napisać: α,β ∊ R, to są te parametry, teraz rozumiesz?

asdf: celowo nie dalem Ci rozwiazania w postaci liczb − chyba bylo by to mniej czytelne, a tak to masz "szablon" jak sie robi te zadania

dawid: skąd wziął ci się taki układ: x − 3u+5v = 43 y + 394u − v = 2456 z + 2u+4v = 5432 t + u + v = 12345

asdf: .............przyklad to jest

dawid: ok zaraz coś pomyślę

asdf: teraz moze byc?

dawid: czyli w tych układach korzystam z twierdzenia kronecera nie rozwiązuje rozwiązania, tylko określa nam ilość rozwiązań w zależności od parametru to teraz powinienem przepisać tę macierz co dostałem po doprowadzeniu do postaci schodkowej, zgadza się ? i potem uzależnić od parametru ?

asdf: nie do macierzy schodkowej tylko jednostkowej, czyli takiej jak masz w niebieskim kwadracie, pozniej jak bedzie trzeba to "uzależnij ją od parametru" i koniec

asdf: tylko pamiętaj o parametrze, ze α,β ∊ R Ja na swoim egzaminie z zeszlego semestru o tym pamietalem, ale inni zapomnieli i zamiast dostać 100% za zadanie dostali połowe To zalezy od wykladowcy na jakiego sie trafi Ale tym sie nie martw tak bardzo Kilka razy zapomnisz i bedziesz pamietac

dawid: póki co mam straszny mętlik w głowie − moglibyśmy zrobić ten przykład 23:30 razem ? doszedłem z macierzą uzupełnień do postaci schodkowej, wyszło, że ma rząd 3, liczba zmiennych to 4, więc n − r = 1, trzeba uzależnić to od jednego parametru i jak to dalej pociągnąć ?

asdf: ja rzędów macierzy nie mialem, zaraz wrzuce macierz do programu i zobaczymy co to bedzie

asdf: x y z w −−− 2.00 0.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 1.00 3.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 4.00 1.00 2.00 1.00 9.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 w3 == w 3 − (1.500000)*w1, w4 == w 4 − (2.000000)*w1, 2.00 0.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 1.00 0.00 0.00 −2.50 −2.50 −7.50 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 w4 == w 4 − (1.000000)*w2, 2.00 0.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 1.00 0.00 0.00 −2.50 −2.50 −7.50 0.00 0.00 0.00 0.00 −2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 1.00 0.00 0.00 −2.50 −2.50 −7.50 0.00 0.00 0.00 0.00 −2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 w programie wychodzi sprzecznosc, wez sprawdz czy o taką macierz chodzilo.

asdf: z resztą − to jest macierz schodkowa jak na razie (chociaz juz i tak mozna wywnioskowac, ze jest sprzeczny uklad), pozniej bys musial jeszcze ewentualnie doprowadzic ja do postaci jednostkowej (powtarzam sie − niebieski kwadrat kilka postow wyzej), ja spadam bo obowiazki wzywają.

dawid:

⎧	2x + z + w = 5
⎜	y − w = −1
⎨	3x − z − w = 0
⎩	4x + y + 2z + w = 9

dawid: mógłbyś napisać jak to sprowadzić do postaci schodkowej ?

dawid: miało być jednostkowej − czy po prawej stronie coś pisze − i odpowiednio przekształcam ?

dawid: tam zamiast 1 w drugiej linijce powinno być −1, czyli przykład z 15:45 jest poprawny i co mówi Twój program ?

asdf: 2.00 0.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 3.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 4.00 1.00 2.00 1.00 9.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 w3 == w 3 − (1.500000)*w1, w4 == w 4 − (2.000000)*w1, 2.00 0.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 −2.50 −2.50 −7.50 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 w4 == w 4 − (1.000000)*w2, 2.00 0.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 −2.50 −2.50 −7.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 −2.50 −2.50 −7.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 teraz juz recznie, skreslam dwa czerwone, zostaje mi: 2.00 0.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 −2.50 −2.50 −7.50 ostatni dziele na −2.5 2.00 0.00 1.00 1.00 5.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 3.00 jeszcze musze usnąć z pierwszego tą jedynke na niebiesko w1 = w1 + (−1)*w3 2.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 3.00 pierwszy dziele na pół 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 3.00 i mam uklad: x = 1 y −w = −1 z +w = 3 w = α (grecka litera aby wyroznic, ze to bedzie parametr) x = 1 y = −1 + α z = 3 − α α ∊ R

asdf: sprawdz w odpowiedziach, nie lubie liczyc macierzy...algebra − macierze...matlab − macierze...geometria − macierze...starczy mi juz ich

dawid: nie mam odpowiedzi ale dzięki zaraz zrobię po swojemu ciekawi mnie jedno: bo doprowadziłem do postaci schodkowej − 1 wiersz samych zer, ty otrzymałeś dwa wiersze samych zer. czy to co obliczyłem jest źle ?

asdf: pisalem Ci przeciez...ostatni wiersz ignoruj. Program ktory mam napisany jest do liczenia wyznacznika, a tu jest macierz 4 x 5 (nei chce mi sie juz sprawdzac dokladnie), dlatego musialem dodac do tablicy dodatkowy wiersz zerowy − ktory nie wplywa na nic

dawid: ok, i po usunięciu tego zerowego wiersza co dalej robisz jakbyś mógł opisać słowami

asdf: jak chcesz to Ci napisze program do robienia macierzy jednostkowej, ale to juz nie dzisiaj − mam troche obowiazkow z uczelni, ewentualnie moge Ci dac kod z C, samemu sobie przerobisz − prawie gotowe juz jest, jak chociaz troche ogarniasz w C to sie z tym uporasz.

asdf: przeciez masz tam wszystko napisane, nie bede przeciez pisac 2 razy tego samego..

asdf: ide, masz juz gotowca troche trzezwo pomysl, a zrozumiesz

dawid: ok już widzę − doprowadzasz do macierzy jednostkowej tylko to doprowadzać zawsze tak, że − po przekątnej czyli tutaj 3 x 3 zgadza się ? kolumna nr 4 nas juz nie interesuje ?

dawid: to mam przykład

	⎧	4y + z = 20
	⎜	2x − 2y + z = 0
c)	⎨	x + z = 5
	⎩	x + y − z = 10

dawid: doprowadzam do postaci schodkowej: | 4 0 1 20 | | 2 −2 1 0 | | 1 0 1 5 | | 1 1 −1 10 |

dawid: doprowadzam do postaci schodkowej: | 0 4 1 20 | | 2 −2 1 0 | | 1 0 1 5 | | 1 1 −1 10 | 1) w₁ <> w₂ | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 1 0 1 5 | | 1 1 −1 10 | 2) w₃ : 2*w₃ − w1 | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 1 0 1 5 | | 0 4 −3 20 | 3) w₃ : 2*w₃ − w₁ | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 0 2 0 10 | | 0 4 −3 20 | 4) w₂ : w₂ − w₄ | 2 −2 1 0 | | 0 0 4 0 | | 0 2 0 10 | | 0 4 −3 20 | 5) w₂ <> w₄ | 2 −2 1 0 | | 0 4 −3 20 | | 0 2 0 10 | | 0 0 4 0 | 6) w₃ : 2*w₃ − w₂ | 2 −2 1 0 | | 0 4 −3 20 | | 0 0 3 0 | | 0 0 4 0 |

	1
7) w3 : (		) * w3
	3

	1
8) w4 : (		) * w4
	4

| 2 −2 1 0 | | 0 4 −3 20 | | 0 0 1 0 | | 0 0 1 0 | 9) w₄ : w₄ − w₃ | 2 −2 1 0 | | 0 4 −3 20 | | 0 0 1 0 | | 0 0 0 0 | ok ?

dawid: i z tego co wyczytałem na internecie "Twierdzenie Kroneckera−Capellego" muszę obliczyć rząd macierzy uzupełnień czyli to co zrobiłem wtedy rzA = 3, natomiast są 3 zmienne więc ok jeszcze chyba trzeba sprawdzić rząd | 0 4 1 | | 2 −2 1 | | 1 1 −1 | dobrze myślę czy nie bardzo ? (bo wtedy jak porównamy wszystkie rzędy będziemy mogli określić ile rozwiązań ma układ )

dawid: | 0 4 1 | | 2 −2 1 | | 1 0 1 | | 1 1 −1 | tylko jak tu wyliczyć rząd ?

Krzysiek: krok 2. zmieniasz 4 wiersz. krok 3. źle a₃₃=1

Vizer: 2) w3 : 2*w3 − w1 | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 1 0 1 5(10) | | 0 4 −3 20 | Wg moich rachunków tu powinno być 10.

Vizer: A źle popatrzyłem faktycznie zmieniasz tu 4 wiersz, dostałem oczopląsu na tym zapisie już

dawid: Krzysiek, na co zmieniam 4 wiersz ?

dawid: 2) w₃ : 2w₃ − w₁ | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 0 2 0 10 | | 0 4 −3 20 | 4) w₄ : 2w₄ − w₁ | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 0 2 0 10 | | 0 4 −3 20 | tu były błędy, ale raczej dobrze przepisałem z kartki, może być ?

dawid: 3) w4 : 2w4 − w1

Vizer: Teraz te macierze się od siebie w ogóle nie różnią, chyba powinno być tak : 2) w3 : 2w3 − w1 | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 0 2 0 10 | | 1 1 −1 10 | 4) w4 : 2w4 − w1 | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 0 2 0 10 | | 0 4 −3 20 |

Krzysiek: napiszę jeszcze raz (chyba że źle widzę i źle liczę) a₃₃=1.

dawid: 1) w1 <> w2 | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 1 0 1 5 | | 1 1 −1 10 | 2) w₃ : 2*w₃ − w₁ | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 0 0 1 10 | | 1 1 −1 10 | 3) w₄ : 2*w₄ − w₁ | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 0 0 1 10 | | 0 4 −3 20 | 4) w₄ <> w₃ | 2 −2 1 0 | | 0 4 −3 20 | | 0 0 1 10 | | 0 4 1 20 | 5) w₄ : w₄ − w₂ | 2 −2 1 0 | | 0 4 −3 20 | | 0 0 1 10 | | 0 0 4 20 |

	1
6) w4 :		* w4
	4

| 2 −2 1 0 | | 0 4 −3 20 | | 0 0 1 10 | | 0 0 1 5 | 7) w₄ : w₄ − w₃ | 2 −2 1 0 | | 0 4 −3 20 | | 0 0 1 10 | | 0 0 0 −5 | teraz jest dobrze ?

dawid: wkleję to co wyżej napisałem: "i z tego co wyczytałem na internecie "Twierdzenie Kroneckera−Capellego" muszę obliczyć rząd macierzy uzupełnień czyli to co zrobiłem wtedy rzA = 4, natomiast są 3 zmienne i co teraz?"

Vizer: 2) w3 : 2*w3 − w1 | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 0 2? 1 10 | | 1 1 −1 10 |

Krzysiek: już w 2) kroku czemu w 3 wierszu drugiej kolumnie jest zero? może jest dobrze, ale zamiast tak szybko pisać może postaraj się sam sprawdzać w zeszycie 2 razy zanim tu napiszesz? ciężko tu coś zobaczyć a w zeszycie wydaje mi się lepiej widać...

dawid: właśnie w zeszycie miałem błąd , zaraz tutaj poprawie jednak moja prośba − moglibyście napisać jaki jest następny krok ?

Vizer: Napisz rozwiązanie to będziemy gadać dalej.

dawid: to częściowo będę pisał : 1) w1 <> w2 | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 1 0 1 5 | | 1 1 −1 10 | 2) w3 : 2*w3 − w1 | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 0 2 1 10 | | 1 1 −1 10 | 3) w₄ : 2*w₄ − w₁ | 2 −2 1 0 | | 0 4 1 20 | | 0 2 1 10 | | 0 4 −3 20 | 4) w₂ : w₂ − 2*w₃ | 2 −2 1 0 | | 0 0 −1 0 | | 0 2 1 10 | | 0 4 −3 20 | teraz ok ? [tylko do tego momentu, aby się lepiej czytało]

Vizer: Teraz chyba dobrze.

dawid: jeżeli to jest już dobrze to: 5) w₂ <> w₃ | 2 −2 1 0 | | 0 2 1 10 | | 0 0 −1 0 | | 0 4 −3 20 | 6) w₄ : w₄ + 2*w₂ | 2 −2 1 0 | | 0 2 1 10 | | 0 0 −1 0 | | 0 0 −5 0 | 7) w₄ : w₄ + 5*w₃ | 2 −2 1 0 | | 0 2 1 10 | | 0 0 −1 0 | | 0 0 0 0 | czyli rzA = 3 tak jak wyszło za pierwszym razem

Vizer: 6) w4 : w4 − 2*w2, ale to tylko chyba źle przepisałeś, bo rachunki były dobre.

dawid: tak tak czyli dobrze ? i co dalej w takim wypadku ?

Vizer: Określ teraz z jakim układem mamy do czynienia na podstawie tw. Kroneckera − Capellego.

dawid: tu właśnie było moje pytanie bo czytałem o tym i muszę też określić rząd macierzy z zbudowanej z samych zmiennych tak? tj.: | 0 4 1 | | 2 −2 1 | | 1 0 1 | | 1 1 −1 | tylko jak wyliczyć tu rząd, jak jest macierz 4 x 3 ?

Vizer: A czego nie korzystasz z tej macierzy co sobie ładnie przerobiłeś na postać schodkową?

dawid: http://www.matmana6.pl/tablice_matematyczne/studia/macierze_i_wyznaczniki/120-twierdzenie_kroneckera_capellego na tym się opierałem, myślałem, że wpierw określam rząd U [macierzy uzupełnienia] następnie A to chciałem osobno liczyć, rozumiem, że chodzi Ci o: | 2 −2 1 | | 0 2 1 | | 0 0 −1 | | 0 0 0 | i co tutaj pomijamy ostatni wiersz ?

Vizer: Ostatni wiersz można skreślić, ma same zera więc do niczego się nie przyda i nie zmieni to rozwiązania. Jeśli określasz rząd macierzy głównej rozpatrujesz tylko macierz bez ostatniej kolumny, jeśli badasz rząd uzupełnionej to wtedy całą macierz bierzesz pod uwagę.

Kamil: przepraszam ze sie wtącam ale gdzie sie tego uczy ? studia? jaki kierunek i rok?...

asdf: @dawid nie wiem ile razy juz Ci pisalem, ze dodanie wiersza zerowego nie wplywa w ogole na macierz, np. 2.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 3.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 to jest to samo co: 2.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.00 1.00 0.00 −1.00 −1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 3.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

dawid: Vizer to wtedy rzA = 3, tak jak macierzy uzupełnionej mam rację ? Kamil 1 rok, ekonomia asdf wiem, ale wolałem się upewnić

Vizer: Kamil tak na studiach takie rzeczy się robi, wszystkie kierunki techniczne mają matematykę na 1 roku. Wydaje mi się więc, że na większości kierunków i na pierwszym roku.

Vizer: dawid

dawid: to skoro rzA = rzU = ilosc zmiennych = 3 czyli jest tylko jedno rozwiązanie, tak? tylko jak je wyznaczyć ?

Vizer: Wracamy z powrotem do zapisu układu równań, gdzie pierwsza kolumna jest x − owa, druga y − owa, trzecia z − owa, a czwarta wyrazów wolnych.

dawid: | 2 −2 1 0 | | 0 2 1 10 | | 0 0 −1 0 | | 0 0 0 0 |

⎧	4y + z = 20
⎜	2x − 2y + z = 0
⎨	x + z = 1
⎩	x + y − z = 10

czyli z tego mamy:

⎧	2x − 2y + z = 0
⎨	2y + z = 10
⎩	−z = 0

rozwiązujemy to i otrzymujemy:

⎧	x = 5
⎨	y = 5
⎩	z = 0

asdf: podstaw sobie do rownan poczatkowych − tak sie nauczysz sprawdzac uklady

dawid: umiem sprawdzać ale wole się upewnić

Vizer: Dobrze

dawid: i chciałem wiedzieć czy o to chodziło polecenie było takie "znajdź i zapisz formalnie zbiór rozwiązań. Ponadto do każdego przykładu rozpatrz osobny układ jednorodny i napisz bazę jego przestrzeni rozwiązań." czy to jest formalnie zapisany zbiór rozwiązań ?

Vizer: To na razie zrobiliśmy tylko pierwsze zdanie polecenia. Teraz trzeba rozwiązać układ jednorodny (wyrazy wolne są zerami).

dawid:

⎧	2x − 2y + z = 0
⎩	− z = 0	⇒ x − y = 0 ⇒ x = y

i co z tym dalej ?

dawid: i jak zapisać tę bazę ?

Vizer: A nie zgubiłeś jeszcze jednego równania (2y + z = 10)?

dawid: "wyrazy wolne są zerami" − 10 nie jest zerem chyba ?

Vizer: Chodzi o to, że tworzymy nowy układ równań, gdzie wolne wyrazy stają się zerami, więc zamieniamy te wartości na zera.

dawid: czyli:

⎧	2x − 2y + z = 0
⎨	2y + z = 0
⎩	−z = 0

Vizer: Yhy.

asdf: "wyrazy wolne są zerami" − 10 nie jest zerem chyba ? − widzac takie cos zastanawiam sie do jakiego poziomu zejdziesz w zadawaniu pytan

asdf: x=y=z=0

dawid: a jak zapisać tę bazę ?

Vizer: W bazach byłem cienki jak salceson (wina "świetnie" prowadzonego wykładu i ćwiczeń), ale tu chyba za dużo nie można mówić o bazie, chyba to zapisałbym jako : x[0,0,0] + y[0,0,0] + z[0,0,0] Ale nawet palca bm sobie za to nie uciął. asdf Ty może jesteś na bieżąco i będziesz w stanie poprawnie wskazać rozwiązanie

dawid: a jak wyznaczyć układ jednorodny z tego co rozwiązał asdf o 15:57? z tymi parametrami (dokładnie jednym) ?

asdf: @Vizer nie lubie macierzy...szczerze? nie chce mi sie

asdf: baze to chyba okresla sie tak: v = [0,0,0] jako wektor − musialbym zerknac do notatek, a bedac bardziej szczegolowym − musialbym je znaleźć

dawid: tam był układ:

⎧	x = 1
⎨	y − w = −1
⎩	z + w = 3

czyli teraz będzie:

⎧	x = 0
⎨	y − w = 0
⎩	z + w = 0

w = α

Vizer: x = 0 y − w = 0 z + w = 0 gdzie w jest parametrem. Być może tak się zapisuje, bo jak napisałem, nie mam pojęcia Ja też nie lubiłem algebry dlatego wolę analizę, to jest dla mnie bardziej "namacalny" przedmiot

dawid: no ok, wtedy mamy:

⎧	x = 0
⎨	y = α
⎩	z = −α

i jak to zapisać formalnie, jak bazę itp?

asdf: @Vizer algebra jest chyba bardziej namacalna Ale osobiscie tez wole analize i całeczki

asdf: [0,y−α,z+α, α] chyba...kurde nie pamietam juz, ale to sa chyba takie pierdoly, ze nie wszedzie tego wymagają.

dawid: a jak rozwiązać układ np.:

⎧	4x + 9y − z = 2
⎩	x − 3y + z = 0

też za pomocą eliminacji Gaussa?

Vizer: Każdy układ można rozwiązać Gaussem, to uniwersalna metoda

dawid: tylko, wtedy postać schodkowa to: | 4 9 −1 2 | | 0 −21 5 2 |

Vizer: Tak, jeśli nie pomyliłeś się w rachunkach.

dawid: wtedy odp to:

	1		5		7
y =		−		x i z = 1 −		x
	3		6		2

asdf: no i musisz doprowadzic do postaci: | 1 0 cośtam... cośtam... | | 0 1 cośtam... cośtam... |

dawid: chyba nie muszę, bo nie doprowadziłem a wynik wyszedł zgodny z wolframem

asdf: mialbys to samo pozniej

dawid: | 4 9 −1 2 | | 0 −21 5 2 | | 1 9/4 −1/4 1/2 | | 0 1 −5/21 −2/21 | w₁ : w₁ − 9/4 * w₂ | 1 0 1/7 5/7 | | 0 1 −5/21 −2/21 | tak?

dawid: "Zbadaj ilość rozwiązań w zależności od param. p."

⎧	x1 + x3 = 1
⎨	2x1 + x2 + 3x2 + 2x4 = 2p
⎩	4x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = p

tutaj też eliminacja gaussa ?

dawid: | 1 0 1 0 1 | | 2 1 3 2 2p | | 4 1 5 2 p | w₃ : w₃ − 2*w₂ | 1 0 1 0 1 | | 2 1 3 2 2p | | 0 −1 −1 −2 −3p | w₂ : w₂ − 2*w₁ | 1 0 1 0 1 | | 0 1 1 2 2p − 2 | | 0 −1 −1 −2 −3p | w₃ : w₃ + w₂ | 1 0 1 0 1 | | 0 1 1 2 2p − 2 | | 0 0 0 0 −p − 2 | chyba dobrze ? coraz sprawniej mi to idzie

dawid:

dawid:

dawid:

Vizer: Dobre rachunki

asdf: zauwaz, ze tylko dla p = −2 są możliwe rozwiązania

dawid: to widzę jeżeli p = −2 to coś dalej muszę zrobić, czy tylko napisać ?

Vizer: Możesz dojść do tego wniosku wykorzystując znane Ci już tw. Kroneckera − Capellego.

dawid: że dla parametru p = −2 ma ile rozwiązań ? bo są 4 zmienne, rzA = 3, rzU = 3

Vizer: Dla p = −2 raczej rzA = rzU = 2.

dawid: tak tak to co wtedy ?

Vizer: No to jaki wniosek? Masz n = 4 zmiennych i rzA = rzU = 2, co mówi Kronecker jak takie coś widzi?

dawid: nieskończenie wiele rozwiązań, czyli tutaj będą dwa parametry ? a co jeżeli byłoby np.: rzA = rzU = 3 a np.: dwie zmienne ?

dawid:

Vizer: Rząd nie może być większy od ilości zmiennych

dawid: czyli jak byłoby n = 2, rzA = rzU = 4, to brak rozwiązań czyli tutaj będzie koniec ? jak napisze, że ma nieskończenie wiele dla tego przykładu gdy n = 4, rzA = rzU = 2 (w zależności od dwóch zmiennych)

dawid:

dawid:

dawid:

Vizer: Nigdy nie będziesz miał takiej sytuacji, że n = 2 i rzA = rzU = 4, tu nie chodzi o brak rozwiązań tylko jest niemożliwy taki wynik, bo przeciez "schodki" macierzy schodkowej zależą od ilości zmiennych i co najwyżej n = rzA = rzU. W Twoim zadaniu wychodzi dla p = −2 układ nieoznaczony z dwoma parametrami i dla p ≠ −2 układ sprzeczny.

dawid: ok to mam drugi przykład z parametrem:

⎧	px1 + px2 + px3 = p
⎨	x1 + px2 + px3 = p
⎩	x1 + x2 + px3 = p

| p p p p | | 1 p p p | | 1 1 p p | 1) w₂ : w₂ − w₃ | p p p p | | 0 p − 1 p p | | 1 1 p p | 2) w₃ : p * w₃ − w₁ | p p p p | | 0 p − 1 p p | | 0 0 p² − p p² − p | mogę takie przekształcenia wykonać ?

dawid: p² − p = p(p − 1) czyli muszę rozpatrzyć przypadki gdy p = 0 v p = 1 ?

asdf: @dawid nie obraz sie, ale robisz w kolko te same zadania, one niczym sie praktycznie od siebie nie roznia, a zadajesz ciagle te same pytania...

Vizer: 1) w2 : w2 − w3 | p p p p | | 0 p − 1 0 0 | | 1 1 p p |

dawid: 5 zadanie z układu równań, trzeba robić dużo przykładów, aby się nauczyć

asdf: p²−p = p² − p jest to tautologia.. tak jak: 2=2, 3 = 4 23423423 = 23423423..

dawid: tak, to wtedy: | p p p p | | 0 p − 1 0 0 | | 0 0 p2 − p p2 − p | teraz może być ?

dawid: 3 = 4 − nie jest tautologią

asdf: 3=3, 4 = 4, tak mialo byc.

Vizer: Teraz dobrze To teraz z tw. Kroneckera − Kapellego rozważasz dla jakich p, jaki otrzymasz układ. @asdf nie bądź złośliwy, przynajmniej on wkłada coś od siebie, a nie czeka na gotowca, a to że chce się upewnić, albo po konsultacji mu się lepiej uczy, nie powinno nikomu przeszkadzać.

asdf: @Vizer to nie jest zlosliwość, mi takie cos w ogole nie przeszkadza, chodzi mi o to, by spojrzal na poprzednie przyklady i tam jest to samo.

dawid: | p p p p | | 0 p − 1 0 0 | | 0 0 p² − p p² − p | 1) p = 1 | 1 1 1 1 | | 0 0 0 0 | | 0 0 0 0 | rzU = rzA = 1 i 3 zmienne 2) p = 0 | 0 0 0 0 | | 0 − 1 0 0 | | 0 0 0 0 | rzU = rzA = 1 i 3 zmienne

⎧	p = 1 − układ nieoznaczony
⎩	p = 0 − układ nieoznaczony

to wszystko, czy coś jeszcze muszę rozpatrzyć ?

Vizer: No i jeszcze ostatni przypadek Ci został dla p ≠ 0 i p ≠ 1.

dawid: to wtedy jest oznaczony ? − ma jedno rozwiązanie ?

Vizer: Yhy

dawid:

⎧	x1 + 2x2 + x3 = 5
⎨	2x1 + 2x2 + x3 = 6	− za pomocą w. cramera
⎩	x2 + 2x2 + 3x3 = 9

| 1 2 1 | | 2 2 1 | = −4 | 1 2 3 | W_x1 = −4 W_x2 = −4 W_x3 = −8

⎧	x1 = 1
⎨	x2 = 1
⎩	x3 = 2

Vizer: Dobrze.

dawid: mam taką macierz: | 1 2 3 | | 2 1 4 | | 4 7 8 | i trzeba dla niej wyznaczyć B rozpiętej przez jej w oraz k. B − baza przest. w − wiersze k − kolumny

dawid:

dawid:

dawid:

dawid:

dawid:

dawid: pomoże ktoś ?

dawid:

dawid:

Vizer: Widzę, ze nikt Ci nie pomoże, więc musisz zdać się na moją niepewną wiedzę, wydaje mi się, że bazę określają wektory niezależne w danej macierzy, licząc wyznacznik z tej macierzy jest ona różna od 0 więc te 3 wektory są liniowo niezależne i one rozpinają przestrzeń liniową. Ale nie jestem tego pewny Zapytaj Basi albo Triviala oni to oganiają

dawid: ok