suma cotangensów teofrast: Oszacowanie górne sumy ctgα+ctgβ+ctgγ. Miary kątów α,β,γ pewnego trójkąta należą do przedziału [ 45^o ; 90^o ]. Pokazać, że ctgα+ctgβ+ctgγ ≤ 2.

teofrast: Zadanie okazuje się być oczywiste: w [ 45^o ; 90^o ] ctg ↘ od 1 do 0, zatem: ctgα+ctgβ+ctgγ = ctgα+ctgβ − ctg ( α+β ) ≤ 1 + 1 − "coś" ≤ 2. Równość zachodzi dla α = β = 45^o.

teofrast: Mały komentarz: Powyższy problem wynikł z rozwiązywania zadania maturalnego z jednego z państw afrykańskich; oryginalne zadanie brzmiało: Udowodnić, że w trójkącie o bokach a, b, c, i wysokościach ( odpowiednio ) h_a , h_b , h_c oraz kątach należacych do przedziału [ 45^o ; 90^o ] zachodzi nierówność: 12 ≤ ( a² + b² +c² ) ( ¹_(ha)² + ¹_(hb)² + ¹_(hc)² ) ≤ 16 Po przekształceniach otrzymuje się √3 ≤ ctgα+ctgβ+ctgγ ≤ 2. (Lewa strona nierówności jest klasyczną nierównością trygonometryczną prawdziwą dla każdego trójkąta − dowód np. tutaj: http://mathchina.net/dvbbs/dv_rss.asp?s=xhtml&boardid=3&id=4129&page=3 )

AC: Nie takie oczywiste, bo α+β≥90 a wtedy ctg( α+β) ≤ 0, czyli to coś ≤ 0

teofrast: Faktycznie, próbowałem rozwiązać w pamięci bez papieru... Czyli jesteśmy w punkcie wyjścia...

AC: Oznaczmy: a=ctgα; b=ctgβ; c=ctgγ Zachodzą związki:

	1−ab
c=ctg(180−(α+β))= −ctg(α+β)=
	a+b

analogicznie:

	1−bc
a=
	b+c

	1−ac
b=
	a+c

Przekształcamy te 3 równania: ac + bc = 1 − ab ab + bc = 1 − ac ab + ac = 1 − bc dodajemy stronami 2(ab + bc + ac) = 3 − (ab + bc + ac)⇒ ab + bc + ac=1 teraz liczymy (a + b + c)² = a² +b² +c² + 2 ≤ 2 + (a + b + c) ostatnie przejście wynika z faktu że 0 ≤ a ≤ 1 ⇒ a² ≤ a analogicznie dla b² i c² Teraz oznaczmy przez x = a + b + c x² ≤ 2 + x⇒ x² −x − 2 ≤ 0 ⇒ (x + 1)(x − 2) ≤ 0 Ponieważ x + 1 > 0 to x − 2 ≤ 0 ⇒ x ≤ 2 co kończy dowód.

teofrast: Śliczny dowód...Bardzo dziękuję. Nie zdawałem sobie sprawy jak byłem blisko: wartość sumy cyklicznej iloczynów kotangensów ( =1) była mi znana...szkoda, że sam nie wpadłem na resztę... Pozdrawiam, « teofrast »

AC: Ja zastanawiam się jak to możliwe, że takie zadania dają na maturze, sam musiałem nieźle kombinować, co w warunkach stresu maturalnego byłoby raczej niemożliwe. Pozdrawiam.

Ajtek: AC, to może być zadanie maturalne sprzed reformy oświaty. Cześć .

teofrast: To jest zadanie maturalne z KAMERUNU (sprzed parunastu lat) Abiturienci patrzą się na biegające żyrafy i antylopy za oknem i... stres maturalny mija! Bawię się w rozwiązywanie tych afrykańskich zadań, bo to bardzo przyjemne i satysfakcjonujace zajęcie. Jak czegoś nie będę umiał zrobić, to wrzucę na forum... Pozdrawiam wszystkich partycypantów mojego postu « t »