nierówności z logarytmami mrcyvill: Witam! Mam tu kilka nierówności z logarytmami i nie do końca wiem jak je rozwiązać. Zaznaczę, że rozumiem logarytmy jednak nie wiem jak się zabrać za te przykłady.

	5
1) log2(x+1) + log(x+1)2 ≤
	2

	1
2) log2/3(4x2+x + 2x2+x−1 −		) > 0
	2

	1
3) x2+log22x−log2x2 −		> 0
	x

	log(35−x3)
4)		>3
	log(5−x)

5) log_|x−4|(2x²−9x+4) > 1 Najbardziej ciekawi mnie ten ostatni gdyż jeszcze nie spotkałem się z modułem w podstawie logarytmu.

irena_1: 5. Najpierw założenia: − podstawa logarytmu |x−4|>0, czyli x−4≠0 |x−4|≠1, czyli x−4≠1 i x−4≠−1 x≠4 x≠5 i x≠3 − liczba logarytmowana 2x²−9x+4>0 Δ=81−32=49

	9−7		1		9+7
x1=		=		x2=		=4
	4		2		4

	1
x∊ (−∞;		) ∪ (4; ∞)
	2

Stąd dziedzina nierówności:

	1
x∊ (−∞;		) ∪ (4; 5) ∪ (5; ∞)
	2

Teraz: − dla 0<|x−4|<1 , czyli dla x≠4 i x∊ (3; 5) (a biorąc pod uwagę założenia dla x∊(4; 5) ) jest |x−4|=x−4 i masz nierówność 2x²−9x+4<x−4 2x²−10x+8<0 x²−5x+4<0 (x−1)(x−4)<0 x∊(1; 4) Φ (nie ma rozwiązań w danym przedziale) − dla |x−4|>1, czyli dla x∊ (−∞; 3) ∪ (5; ∞)

	1
(a biorąc pod uwagę założenia dla x ∊ (−∞;		) ∪ (5; ∞) )
	2

jest:

	1
− dla x ∊ (−∞;		) |x−4|=−x+4
	2

i masz nierówność 2x²−9x+4>−x+4 2x²−8x>0 2x(x−4)>0 x∊ (−∞; 0) ∪ (4; ∞) czyli zostaje x ∊ (−∞; 0) − dla x ∊ (5; ∞) |x−4|=x−4 i masz nierówność 2x²−9x+4>x−4 2x²−10x+8>0 x²−5x+4>0 (x−1)(x−4)>0 x∊ (−∞; 1) ∪ (4; ∞) czyli zostaje x ∊ (5; ∞) Odpowiedź: x ∊ (−∞; 0) ∪ (5; ∞) Sprawdź jeszcze obliczenia

Kaja: 5. zał. x≠4 i |x−4|≠1 i 2x²−9x+4>0 x≠5 i x≠3 Δ=49 √Δ=7

	1
x1=		x2=4
	2

x∊(−∞;¹₂)∪(4;+∞) zatem x∊(−∞;¹₂)∪(4;5)∪(5;+∞) 1^o x∊(−∞;¹₂) log_(−x+4)(2x²−9x+4)>log_(−x+4){(−x+4)} 2x²−9x+4>−x+4 2x²−8x>0 x²−4x>0 x(x−4)>0 x∊(−∞;0)∪(4;+∞) i x∊(−∞;¹₂ zatem x∊(−∞;0) 2^o x∊(4;5) log{(x−4)}(2x²−9x+4)>log_(x−4)(x−4) 2x²−9x+4<x−4 2x²−10x+8<0 (x−1)(x−4)<0 x∊(1;4) i x∊(4;5) zatem x∊∅ 3^o x∊(5;+∞) log_(x−4)(2x²−9x+4)>log_(x−4)(x−4) 2x²−9x+4>x−4 x²−5x>0 x(x−5)>0 x∊(−∞;0)∪(5;+∞) i x∊(5:+∞) zatem x∊(5;+∞) odp. x∊(−∞;0)∪(5;+∞)

Kaja: 3. zał. x>0

	1
x2+(log2x)2−log2x2>
	x

	1
log2x2+(log2x)2−log2x2>log2
	x

(2+(log₂x)²−log₂x²)*log₂x>log₂x⁻¹ (log₂x)³−2(log₂x)²+2log₂x>−log₂x (log₂x)³−2(log₂x)²+3log₂x>0 t=log₂x t³−2t²+3t>0 t(t²−2t+3)>0 /:(t²−2t+3) t>0 log₂x>0 log₂x>log₂1 x>1 i z zał. x>0 zatem x∊(1:+∞)

Kaja:

	1
2. zał. 4x2+x+2x2+x−1−		>0
	2

rozwiąż sobie to log_²3(4^x2+x+2^x2+x−1−¹₂)>log_²31 4^x2+x+2^x2+x−1−¹₂<1 4^x2+x+2^x2+x−1−³₂<0 to też sobie rozwiąż a potem weź część wspólna z tym co wyjdzie z założeń

mrcyvill: dzięki za odpowiedzi dziewczyny resztę zadań udało mi się rozwiązać