Dowód -równanie nego: Dowiedz, że jeśli a,b,c≥0, to a + b + c −− −− −− ≥ 3 b c a Proszę o pomoc! czas nagli!

Mateusz: Jak nie masz pomysłu to rozwiąż taką nierownosc i wyciągnij odpowiedni wniosek

nego: dochodzę do momentu a²b+b²a+bc² − 3abc ≥ 0 Chciałem to zwinąc jakoś do wzoru skroconego mnozenia, ale nie potrafię. Jakies podpowiedzi?

PW: Dowód jest banalny, jeżeli znasz nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (dla trzech liczb).

nego: Zapisałem , że (a+b+c)/3 ≥ trzeciego s. √abc. Niestety, nie umiem dalej tego pociągnąć

PW: Te trzy liczby stoją w zadaniu:

a		b		c
	.		i
b		c		a

nego: podstawiając doszedłem do tezy, jak udowodnić to na przykładzie, że zawsze spełniona jest nierówność między danymi średnimi? wystarczy słownie?

PW: To jest znane twierdzenie, wystarczy się na nie powołać. Przecież licząc boki w trójkącie prostokątnym za każdym razem nie dowodzisz twierdzenia Pitagorasa, tylko piszesz: "korzystam z twierdzenia Pitagorasa".

nego: Ok, dziękuję za podpowiedzi. Pozdrawiam

pigor: ...no to może − z rana − od początku do końca np. tak : (a−b)² ≥0 ⇒ a²+b² ≥2ab / :ab >0 z założenia ⇔ ^a_b+^b_a ≥2 i tę nierówność warto zapamiętać, analogicznie dowodząc ^b_c+^c_b ≥2 i ^c_a+^a_c ≥2 i /+ stronami te 3 nierówności masz ^a_b+^b_a+^c_a + ^b_a+^c_b+^a_c ≥ 6 /* ^a_b *^b_c *^c_a =1 ⇔ ⇔ ^a_b+^b_a+^c_a + ^a_b+^b_a+^c_a ≥ 6*1 ⇔ ⇔ 2 (^a_b+^b_a+^c_a) ≥ 6 / :2 ⇔ ^a_b+^b_a+^c_a ≥ 3 c.n.d. ...