odwrotna dawid: Trivial mógłbyś zajrzeć ? Otóż nie wiem jak oni tutaj: http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_eliminacji_Gaussa [dział "Obliczanie macierzy odwrotnej" ] wyznaczyli to wyłącznie za pomocą elementarnych Jak obliczyć to [A|I] − a dokładnie I

dawid:

Vizer: To nie jest wyliczone, tylko jest to inna metoda wyznaczenia macierzy odwrotnej, czyli do macierzy kwadratowej, którą chcemy odwrócić, dopisujemy po prawej macierz jednostkową i przekształcamy tak lewą stronę (macierz A) aby doprowadzić ją do jednostkowej, to co powstało po prawej stronie będzie macierzą odwrotną do A.

dawid: a skąd bierzemy macierz jednostkową jak ją liczyć ?

dawid:

dawid:

dawid:

Trivial: Co to znaczy jak liczyć macierz jednostkową? Macierz jednostkowa jest zawsze taka sama (ma jedynki na diagonali i zera wszędzie indziej).

dawid: ok, mam coś takiego: | 1 0 0 1 | | 0 2 1 1 | | 0 1 1 1 | | 2 1 1 2 | to tutaj co będzie jednostkową ? | 1 0 0 0 | | 0 1 0 0 | | 0 0 1 0 | | 0 0 0 1 |

Vizer: Ta na dole jest jednostkowa. Znasz w ogóle definicję tej macierzy?

dawid: niestety nie

dawid: czyli dobrze napisałem bo muszę wyznaczyć odwrotną do: | 1 0 0 1 | | 0 2 1 1 | | 0 1 1 1 | | 2 1 1 2 |

Vizer: No to zapraszam do zapoznania się z nią, bo ciężko coś rozkminiać nie wiedząc nawet co. Link : http://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_jednostkowa

dawid: dziękuję

Vizer: Jeśli chcesz zrobić właśnie tą metodą Gaussa − Jordana, to do tej macierzy musisz dopisać po prawej macierz jednostkową, czyli będzie ta macierz wyglądać tak : | 1 0 0 1 : 1 0 0 0 | | 0 2 1 1 : 0 1 0 0 | | 0 1 1 1 : 0 0 1 0 | | 2 1 1 2 : 0 0 0 1 |

dawid: a jaki jest następny krok?

Vizer: Reklamując moja uczelnię : http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/matematyka/a_matem_1_rok/algebra/zadania/node44.html

dawid:

dawid: a czy na agh macie matematykę dyskretną ?

Vizer: No jest taki przedmiot, sam go miałem nawet.

dawid: masz dobre, czy złe wrażenia raczej ?

Trivial: Vizer, z kim?

Vizer: Raczej fatalne, ćwiczenia prowadzone przez mgr Tomasza K. nie wiem czy nazwiskiem mogę tak rzucić. Raczej niemiłe wspomnienia. Wykłady już lepsze, gostek znał się na rzeczy, ale ogólnie ten rodzaj matematyki i tak mnie nie porwał za bardzo Chociaż powinien w końcu to prawie informatyka. Ale co tam.

dawid: ja będę miał z nią do czynienia za rok − jakieś wskazówki może macie ?

Trivial: Wacław F.? Rozbraja śmiechem.

Vizer: Olać to gówno Nie no, jak Ci się chce to sobie możesz poczytać książkę Rossa "Matematyka Dyskretna" coś tam z niej się nauczyłem, pod względem informatycznym jeśli Cię interesuje to jeszcze Cormen " Wprowadzenie do algorytmów", a do zadań używałem takiej książeczki z biblioteczki opracowań matematycznych. Zresztą za szybko się tym przejmujesz

dawid: słyszałem, że bardzo trudne

dawid: czyli, aby wyznaczyć odwrotną do | 1 0 0 1 : 1 0 0 0 | | 0 2 1 1 : 0 1 0 0 | | 0 1 1 1 : 0 0 1 0 | | 2 1 1 2 : 0 0 0 1 | to pierwszy krok: | 1 0 0 1 : 1 0 0 0 | | 0 2 1 1 : 0 1 0 0 | | 0 1 1 1 : 0 0 1 0 | | 0 1 1 0 : −2 0 0 1 |

Vizer: Zostaw Wacława F.! To mój ulubiony wykładowca z analizy! Ale dyskretnej to on nie prowadził, jakiś koleś z UJ, oczywiście po infie, ten przedmiot czysty matematyk by chyba nie poprowadził A Ty co Trivial miałeś z Fredziem?

Trivial: m. dyskretną.

Vizer: Dobrze.

Vizer: Pierniczysz, dawał z tym radę? Ale, że wykład, czy ćwiczenia tylko?

Trivial: Jedno i drugie i w dodatku jedno po drugim. Nie wiem czy dawał radę − nie mam porównania, a na wykład niestety nie chciało mi się chodzić. Co Ty miałeś na tym przedmiocie, że mówisz, iż czysty matematyk rady sobie nie da?

Vizer: U mnie programował na tablicy ...

dawid: drugi krok: | 1 0 0 1 : 1 0 0 0 |

	1		1		1
| 0 1				: 0		0 0 |
	2		2		2

	1		1		1
| 0 0				: 0 −		1 0 |
	2		2		2

	1		1		1
| 0 0		−		: −2 −		0 1 |
	2		2		2

dobrze chodzi bardziej o rachunki

Trivial: Aha. U mnie nie. Na początku była kombinatoryka, potem równania rekurencyjne, funkcje tworzące, grafy, jakieś proste algorytmy grafowe − z tych co pierwsze przychodzi na myśl to: algorytm Dijkstry, kodowanie Pruffera, komiwojażery, Hamiltony i inne. Szczerze mówiąc to mało z grafów pamiętam.

dawid: to chyba bardziej algorytmika a ty Trivial na którym roku jesteś ?

Vizer: Wydaje mi się, że dobrze. Ostatnio Trivial dowiedziałem się jak mało wiem z ekstremów funkcji jednej zmiennej. Zaskoczyło mnie to, że f(x) = (x + 1)³√(2 − x)² ma minimum lokalne w x = 2, choć w zerowaniu pochodnej nie wychodził ten punkt. Miałem z tym trochę rozkminy. Nawet wolfram nie podaje tego miejsca jako ekstremum.

Vizer: No to podobne zagadnienia. Ja tam to już w ogóle mało pamiętam z tego przedmiotu. Kolejnym dla mnie bezużytecznym (jak nie najbardziej z matematycznych) to była statystyka... Wymęczyłem się na niej, że daj spokój.

dawid: a rachunek prawdopodobieństwa mieliście ?

Trivial: Vizer, zależy czy za dziedzinę przyjmiesz x > 2 (tak jak pewnie robi to wolfram), czy x∊R. Jeśli to drugie to dziedzina pochodnej wyjdzie inna niż R (na pewno nie będzie tam dwójki) i wtedy trzeba rozpatrzeć 'obiekty niewykryte różniczkowo' oddzielnie.

Trivial: dawid, na trzecim.

Trivial: Chodziło mi o x < 2.

Trivial: A jednak nie. Wpisałem w wolframa inaczej i rzeczywiście dzieje się coś dziwnego. Ewidentnie widać w punkcie x=2 ekstremum na grafie, a wolfram go nie wypisuje!

dawid: trzeci krok: | 1 0 0 1 : 1 0 0 0 | | 0 1 0 0 : 0 1 −1 0 | | 0 0 1 1 : 0 −1 2 0 |

	1
| 0 0 0 −1 : −2 −		−1 1|
	2

Vizer: No wiem, tylko trochę mnie to zadanko zaskoczyło, bo z automatu strzelało się f'(x) = 0, wychodził punkt podejrzany o ekstremum i tylko wg niego dalej się określało. A czy przy podobnej sytuacji należy być uważnym jeśli chodzi o funkcje wielu zmiennych, czyli dziedzina funkcji jest różna od pochodnej, wychodzą nam punkty stacjonarne z układu i należałoby jeszcze jakoś badać istnienie ekstremów w punktach funkcji f, które zostały wykluczone w dziedzinie pochodnej f?

Vizer: No widzisz ! Też to właśnie widzę.

Vizer: http://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+x%5E2+for+x%21%3D0 A czy przy takim założeniu funkcja nie powinna mieć ekstremów?

dawid: jeżeli trzeci krok był ok to końcowy wynik:

	1
| 1 0 0 0 : −1 −		−1 1 |
	2

| 0 1 0 0 : 0 1 − 1 0 |

	3
| 0 0 1 0 : −2 −		1 1 |
	2

	1
| 0 0 0 1 : 2		1 −1 |
	2

Vizer: dawid jak otrzymasz juz tą macierz odwrotna to sobie sprawdź wynik w wolframie : http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+%7B%7Ba%2C+b%7D%2C+%7Bc%2C+d%7D%7D&lk=4&num=3

Trivial: Ciekawe z tym x². Skoro x≠0, to tym bardziej x = 0 nie jest ekstremum. Ale nie wiem. Dla funkcji wielu zmiennych to w ogóle trzeba być bardzo ostrożnym, ale jeśli dziedzina "pochodnej" jest inna niż funkcji to nie wiemy co się dzieje poza tą dziedziną.

dawid: powinno być: −1 0 −1 1 0 1 −1 0 −2 −1 1 1 2 0 1 −1 gdzieś się pomyliłem, tylko gdzie

Trivial: Idę spać. Dobranoc wam. <:

Vizer: Eh człowiekowi wydaje się, że wszystko z tego wie, a później już sam głupieje. Właśnie ten przykład z x² wymyśliłem rozkminiając problem wyżej. Wniosek : Wolframowi nie można bezgranicznie ufać.

Vizer: Ok. Dobranoc Powodzenia w stawaniu wczesnym rankiem

Trivial: Niewczesnym! Na razie.

dawid: trzeci krok: | 1 0 0 1 : 1 0 0 0 | | 0 1 0 0 : 0 1 −1 0 | | 0 0 1 1 : 0 −1 2 0 | | 0 0 0 −1 : −2 0 −1 1 | wtedy końcowa forma: | 1 0 0 0 : −1 0 −1 0 | | 0 1 0 0 : 0 1 −1 0 | | 0 0 1 1 : −2 −1 1 1 | | 0 0 0 −1 : 2 0 1 −1 | i teraz sie zgadza

dawid: Dobranoc i dziękuję za pomoc!

Vizer: Coś Ci druga kolumna szwankuje tylko.

Vizer: No i widzisz zrobiłeś zadanko Ta metoda dobra właśnie jest do macierzy stopnia większego od 3. Bo metodą macierzy dopełnień poszłoby się szybciej zajechać niż to policzyć.

dawid: a wiesz jak zrobić : 205194

Vizer: Z tego co się teraz douczyłem to wydaje mi się, żeby udowodnić czy macierze są wierszowo równoważne to należy wykonywać na jednej z nich operacje elementarne na wierszach by dostać macierz drugą.

dawid: ale skąd mam wiedzieć jak przekształcać − i czy w ogóle jest to możliwe ?

Vizer: Próbuj doprowadzać sztucznie, czyli przekształcać po kolei wiersze wzorując się na macierzy do jakiej masz dojść.

dawid: masz jakieś wskazówki może, od czego zacząć ?

Vizer: Bierzesz np. macierz a) i próbuj wykorzystując wiersze 2−4 przerabiać wiersz 1 tak by wyglądał jak macierz wyjściowa i tak schodź coraz niżej.

Vizer: Srry wiersze od 2−3

Vizer: Mi się udało doprowadzić do macierzy drugiej, czyli są wierszowo równoważne.

dawid: a mógłbyś napisać jakie kroki wykonałeś ?

Vizer: Ok zaraz tu skrobnę, chyba że zasnę przepisując, bo nie lubię na tym forum macierzy pisać

dawid: dziękuję

Vizer: | 5 2 7 | | 5 2 7 | | 1 2 3 | | −3 4 1 | ∼ (−1)w₃ ∼ | −3 4 1 | ∼ w₁↔w₃ ∼ | −3 4 1 | | −1 −2 −3 | | 1 2 3 | | 5 2 7 | | 1 2 3 | | 1 2 3 | ∼ w₃ = −5w₁ + w₃ ∼ | −3 4 1 | ∼ (−¹₈)w₃ ∼ |−3 4 1 | | 0 −8 −8 | | 0 1 1 | | 1 2 3 | | 1 2 3 | ∼ w₂ ↔ w₃ ∼ | 0 1 1 | ∼ (−1)w₃ ∼ | 0 1 1 | ∼ w₃ = 3w₂ + w₃ ∼ |−3 4 1 | | 3 −4 −1 | | 1 2 3 | ∼ | 0 1 1 | = b) | 3 −1 2 |

dawid: ok dziękuję bardzo

dawid: a wiesz może jak udowodnić jeszcze coś takiego: wykaż, że rz AB jest nie większy niż rz A i rz B (należy użyć odpowiednich prz. liniowych ) rz − rząd AB − iloczyn

dawid: może dzisiaj ktoś zajrzy

Vizer: Znalezione w sieci : http://www.matematyka.pl/132300.htm

dawid: tylko, że muszę wykorzystać przekształcenia liniowe

dawid:

dawid: jesteście może jeszcze ?

Vizer: Ja niestety nie mam pomysłu na to zadanie, więc Ci nie pomogę

dawid: bo mam jeszcze jeden przykład z macierzą odwrotną: | 1 0 0 1 | | 0 0 2 1 | | 0 1 1 1 | | 0 1 1 0 | i dochodzę do momentu: | 1 0 0 1 : 1 0 0 0 | | 0 1 3 2 : 0 1 1 0 | | 0 0 0 1 : −2 0 1 −1 | | 0 0 −2 −2 : −2 −1 −1 1 | i nie wiem jak wykonać przekształcenie kolumny trzeciej, wykonałem odpowiednio: 1) w₄ : w₄ − 2*w₁ 2) w₂ : w₂ + w₃ w₃ : w₃ − w₄ w₄ : w₄ − w₂

dawid: masz może jakiś pomysł ?

dawid: zrobione, innym sposobem