Funkcje trygonometryczne olaq: W trójkąt prostokątny ABC o kącie ostrym 60 stopni wpisano okrąg. Punkt styczności D tego okręgu z przeciwprostokątną CB dzieli ją na dwa odcinki CD i DB. Wykaż, że |AC| * |AB| = 2 * |CD| * |DB|

Shakih: proszę o pomoc

Shakih: Też mam to straszne zadanie

Mila: ∡ABC=60⁰ ∡BAC=90⁰ r− promień okręgu wpisanego w ΔABC T: AC*AB=2*CD*BD D − punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną Punkty styczności M i D są jednakowo odległe od wierzchołka B Punkty styczności M i A są jednakowo odległe od wierzchołka A Punkty styczności N i D są jednakowo odległe od wierzchołka C W ΔOMB:

	r
tg300=
	x

√3		r
	=
3		x

x√3=3r /*√3 3x=3√3r x=√3r AB=r+r√3=r(1+√3) WΔBAC:

	AC
tg600=
	AB

AC
	=√3⇔AC=r(√3+3)
r(1+√3)

y=AC−r=r(√3+3}−r=r(√3+3−1) y=r(√3+2) AC*AB=r(√3+3)*r(1+√3)=r²*(4√3+6)=2r²*(2√3+3) CD*DB=y*x=r(√3+2)*r√3=r²*(3+2√3)⇔ 2CD*DB=2r²*(3+2√3)=AC*DB cnw

Eta: y=|DC|= r√3 , a= |AC|= y+r= r(√3+1) |BC|=x+y= 2a ⇒ x=|BD|= 2r(√3+1) −r√3= r(√3+2) |AB|= r+x = r(√3+3) sprawdzamy równość : |AB|*|AC|= 2|BD|*|DC| L= |AB|*|AC| = r(√3+3)*r(√3+1) = ....=2r²(2√3+3) P= 2*|BD|*|DC|= 2*r(√3+2)*r√3= 2r²(2√3+3) L=P taka równość zachodzi Pewnie jest prostszy dowód ( póki co ....... myślę) P.S taka równość zachodzi, bez względu na miary kątów ostrych! Jutro podam dowód

Eta: Hehe Witaj Mila

Mila: Witam,Eto i DOBRANOC.

Eta: |AC|= y+r , |AB|= x+r , |BC|=x+y z tw. Pitagorasa (x+r)²+(y+r)²=(x+y)² 2xr+r²+2yr+r²= 2xy :2 xr+yr+r²= xy= |BD|*|DC|

	|AC|*|AB|
P(ABC)=
	2

	(y+r)(x+r)		xy		xr+yr+r2		xy		xy
P=		=		+		=		+		= xy
	2		2		2		2		2

	|AC|*|AB|
to		= xy ⇒ |AC|*|AB|= 2xy = 2*|BD|*|DC|
	2

zatem zachodzi równość |AC|*|AB|= 2*|BD|*|DC|