przekształcenie liniowe dawid: Trivial mógłbyś zajrzeć ? Wiedząc, że K jest przekształceniem liniowym Rⁿ na Rⁿ. Wykaż, że istnieje f. odwrtona do K oraz wykaż, że jest ona przekształceniem liniowym.

Basia: addytywność: K(x₁,...,x_n) = (y₁,...,y_n) K(a₁,....,a_n) = (b₁,....,b_n) K(x₁+a₁,....,x_n+a_n) = (y₁+b₁,....,y_n+b_n) stąd K⁻¹(y₁+b₁,...,y_n+b_n) = (x₁+a₁,....,x_n+a_n) = (x₁,...x_n)+(a₁,...a_n) = K⁻¹(y₁,...,y_n)+K⁻¹(b₁,...,b_n) tak samo pokazujesz jednorodność

dawid: mogłabyś wytłumaczyć co to jest addytywność ? i skąd wzięły ci się takie napisy ?

Basia: a Ty w ogóle wiesz co to jest przekształcenie liniowe ? przeczytaj definicję http://pl.wikipedia.org/wiki/Przekszta%C5%82cenie_liniowe bo przecież nie będę przepisywać Wiki i funkcja odwrotna ? K(x₁,...x_n) = (y₁,...,y_n) i K jest różnowartościowe to K⁻¹(y₁,....,y_n) = (x₁,....x_n)

dawid: ehh, znam tylko nie znałem takich pojęć, bo nauczyłem się 1) dodawanie 2) mnożenie tylko nie wiem czy taki dowód starczy funkcji odwrotnej ? a mogłabyś wytłumaczyć słowami co znaczy, że "K jest przekształceniem liniowym Rⁿ na Rⁿ" albo na jakimś przykładzie bo żeby brać się za dowód trzeba zrozumieć polecenie

Basia: przekształcenie z Rⁿ na Rⁿ przyporządkowuje każdemu elementowi Rⁿ czyli ciągowi (x₁,x₂,....,x_n) jakiś element Rⁿ czyli jakiś ciąg (y₁,y₂,....,y_n) gdzie oczywiście x₁,x₂,...,x_n,y₁,y₂,...,y_n∊R na przykład: K(x₁,x₂,....,x_n) = (2x₁,2x₂,....,2x_n) (liniowe) F(x₁,x₂,...,x_n) = (x₁²,x₂²,...,x_n²) (to nie jest liniowe) G(x₁,x₂,...,x_n) = (x₁, 2x₂, 3x₃,....n*x_n) (liniowe) i co sobie tylko wymyślisz każde przekształcenie liniowe K jest różnowartościowe co łatwo udowodnić i można rozważać K⁻¹

dawid: a jak udowodnić, że każde przekształcenie jest różnowartośćiowe ?

Basia: to nieprawda; rozpędziłam się i myślałam o izomorfizmach nie każde przekształcenie liniowe jest izomorfizmem ale odwrócić można każde, najwyżej nie będzie to funkcja najprostszy przykład przekształcenia liniowego, które nie jest różnowartościowe to takie: K(x₁,x₂,....,x_n) = (0,0,....,0) dla każdego ciągu (x₁,x₂,...,x_n)

Basia: i prawdę mówiąc innego przykładu nie widzę, ale to nie znaczy, że go nie ma ale wtedy nie jest "na"

dawid: no ok, ale aby udowodnić, że istnieje funkcja odwrotna nie musimy wiedzieć, że funkcja jest różnowartościowa, prawda ?

BARTEK: Basia idź już spać

Basia: Oczywiście tak, ale wydaje mi się, że to zadanie należy interpretować tak: jeżeli K jest liniowe i odwracalne to K⁻¹ też jest liniowe a nad tym czy "na" musi być różnowartościowe jeszcze pomyślę wydaje mi się, że musi, ale to za mało; spróbuję udowodnić

Basia: albo znaleźć kontrprzykład

dawid: mógłby ktoś to sprawdzić: wiemy z polecenia, że : K(x₁,..., x_n) = (y1,..., y_n) αK(x₁,...,x_n) = (αy₁, ... , αy_n) K⁻¹(αy₁, ... , αy_n) = α*(x₁,...,x_n) Takie pytanie mam odnośnie tego wzoru, czy my nie mieliśmy udowodnić, że ona istenieje ? Bo to chyba nie jest dobry dowód na istnienie odwrotnej funkcji.

dawid:

ff: twierdzenie o rzędzie: dim Rⁿ = dim Ker K + dim Im K ponieważ K jest "na" to: dim Im K = n n = dim Ker K + n dim Ker K = 0 czyli K jest różnowartościowe, więc istnieje odwzorowanie odwrotne

dawid: mógłby ktoś sprawdzić to co napisałem o 19:56 ?

ff: w 19:56 zakładasz, że K⁻¹ istnieje − nie dowodzisz tego K(x)=y αK(x)=αy i jeżeli K⁻¹ istnieje, to: K⁻¹(αy) = αx (bo K(αx)=αy)

dawid: a czy Basia nie zrobiła tego samego ?

ff: To może od początku: z tw. o rzędzie: dim Ker K = 0 Ker K = { 0 }, czyli tylko dla x=0 : K(x)= 0 niech x₀ ≠ x₁ K(x₀) − K(x₁) = K(x₀ − x₁) ≠ 0 czyli K jest różnowartościowe, a ponieważ jest jeszcze surjekcją to jest bijekcją i ma odzworowanie odwrotne K⁻¹ i K⁻¹ jest liniowe: (K(x₀)=y₀, K(x₁)=y₁) K⁻¹( ay₀+y₁ ) = K⁻¹( aK(x₀)+K(x₁) ) = K⁻¹( K(ax₀+x₁) ) = ax₀ + x₁ = aK⁻¹(y₀) + K⁻¹(y₁)

dawid: ok, czyli to jak dam na początek a następnie te dwa dowody − to powinno być ok ?

ff: jakie dwa dowody ? 11:46 + 16:39 to cały dowód, pozostaje Ci to zrozumieć

dawid: bardziej mi chodziło − to co Basia napisała jest źle ? oczywiście dziękuję bardzo za pomc

ff: Jest dobrze, ale nic nie udowadnia − Basia podała definicje liniowości( jednorodność + addytywność ), definicję funkcji odwrotnej i przykłady odwzorowań ( liniowych i nie )

dawid: a więc o to chodziło a wiesz może jak zrobić jeszcze takie zadanie: wykaż, że rz AB jest niewiększy niż rz A i rz B (należy użyć odpowiednich prz. liniowych ) rz − rząd AB − iloczyn

dawid: