Oblicz całkę Dejmjen: Oblicz całkę nieoznaczoną: ∫^{x3 + 5x2}_{x³ + 2x² − 1}dx

Dejmjen: Powinno być coś takiego ∫[(x³ + 5x²):(x³ + 2x² − 1)]dx

Mila:

	x3+5x2		x3+2x2−1 + 3x2+1
∫		dx = ∫		dx=
	x3+2x2−1		x3+2x2−1

	3x2+1
=∫dx +∫		dx=
	x3+2x2−1

	3x2+1
=x+∫		dx=cdn
	−1−√5   −1+√5   (x+1)*(x− )*(x− )   2   2

[ ułamki proste: rozkładamy mianownik na czynniki: x=−1 (−1)³+2−1=0 Schemat Hornera: x=−1 1 2 0 −1 1 1 −1 0

	−1−√5		−1+√5
x3+2x2−1=(x+1)(x2+x−1)=(x+1)*(x−		)*(x−		)
	2		2

Δ=5

	A		B		C
=cd x+∫(		+		+		dx
	x+1		−1−√5   (x− )   2		−1+√5   (x− )   2

dokończysz?

Dejmjen: Niestety nie mam pojęcia jak rozłożyć ten ułamek, w internecie znalazłem coś o metodzie współczynników nieoznaczonych, ale nic mi to nie mówi. Wcześniej sam doszedłem do tego momentu, tylko że przez rozłożeniem mianownika.

asdf: 3x²+1 = A(x− (−1−sqrt(5))/2)(x− (−1+√5)/2) + B(x+1)(x− (−1+√5)/2) + C(x+1)((x− (−1−√5)/2)) pierwiastki wielomianu z mianownika: x₀ = −1

	−1−√5
x1 =
	2

	−1+√5
x2 =
	2

podstawiaj: x = x₀ ⇒ policzysz A x = x₁ ⇒ policzysz B x = x₂ ⇒ policzysz C P.S Kto Cie tak skrzywdził, że dal Ci taką całke ?

Dejmjen: Nauczycielka z liceum, mam wakacyjny fakultet przed studiami . Ok, spróbuję to jakoś ogarnąć i napiszę co mi wyszło.

asdf: całka nie jest ciężka, ale żmudna w obliczeniach...Osobiście bym zrezygnowal z liczenia tej całki − nie chodzi o to by się meczyc z tymi obliczeniami, a sobie swobodnie liczyć.

Dejmjen: Możliwe również, że popełniłem błąd w przepisywaniu przykładu, więc chyba jednak dam sobie spokój z tą całką, ale dzięki za pomoc

asdf: http://www.matematyka.pl/82336.htm

pigor: .... lepiej tak :

3x2+1		3x2+1		3x2+1
	=		=		=
x3+2x−1		x3+x2+x2−1		x2(x+1)+(x+1)((x−1)

	3x2+1		A		Bx+C
=		}=		+		=
	(x+1)(x2+x−1		x+1		x2+x−1

	(A+B)x2+(A+B+C)x−A+C
=		⇔ A+B=3 i A+B+C=0 i −A+C= −1 ⇔
	(x+1)(x2−+x−1)

⇔ A+B=3 i 3+C=0 i A=C+1 ⇔ C= −3 i A= −2 i B= 5 =

	−2		5x−3		−2		4x+2+x−5
=		+		=		+		=
	x+1		x2+x−1		x+1		x2+x−1

	−2		2x+1		x−5
=		+ 2 *		+		wtedy
	x+1		x2+x−1		x2+x−1

	−2		2x+1		x−5
∫ (		+ 2 *		+		) dx=
	x+1		x2+x−1		x2+x−1

	x−5
= −2ln|x+1| + 2ln |x2+x−1| + ∫		dx=
	x2+x−1

	|x2+x−1|		x−5
= 2ln		+ ∫		dx i teraz tylko powalcz jakoś zgrabnie z tą
	|x+1|		x2+x−1

całką .

Mila: To ułamki proste, metoda wsp. nieoznaczonych dotyczy innego typu cAŁEK.