a Ajtek: Dana jest funkcja f(x,y)=x³−9xy+y³−9 Wyznacz wszystkie punkty stacjonarne i ekstrema lokalne tej funkcji. Podpowiedzi proszę .

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum#Funkcje_okre.C5.9Blone_na_podzbiorach_p.C5.82aszczyzny

Basia: Witaj Ajtek To łatwe. Może Nika sama spróbuje wg schematu podanego przez Krzyśka. Najpierw liczymy f'_x i f'_y. Sprawdź czy Nika wie jak to policzyć.

Ajtek: Witaj Basia, jestem u Niki i wytłumaczyłem Jej jak to zrobić. Ale sprawdź proszę czy nie walnąłem gdzieś gafy. f'_x=3x²−9y f'_y=−9x+3y²

Basia: oczywiście wszystko dobrze; wiesz co dalej ?

Basia: Nika miała wrzucić skan tamtego zadania, ale chyba tego nie zrobiła.

Mila: http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29%3Dx%5E3%E2%88%929xy%2By%5E3%E2%88%929 http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative%5Bx%5E3%E2%88%929xy%2By%5E3%E2%88%929%2Cx%5D http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative%5Bx%5E3%E2%88%929xy%2By%5E3%E2%88%929%2Cy%5D

Nika1410: próbowałam to wrzucić, niestety notebook nie czyta mi telefonu i nie chce też wysłac na maila (złośliwość przedmiotów martwych). Ajtka już nie ma, a ja dalej obliczyłabym f'(x,y) i z tego mam wywnioskować (przyrównać tą pochodną do zera) czy: f'>0 jest ekstremum i minimum f'<0 jest ekstremum i maksimum f'=0 nie wiadomo ?

Mila: Masz tam policzone przez wolfram. Zobacz linki. Jest minimum. Jest Basia, to zaraz Ci podpowie.

Vizer: Witajcie wszyscy Musisz wyznaczyć punkty podejrzane o ekstremum (punkty stacjonarne, krytyczne), by to zrobić musisz przyrównać pochodne do 0, wyjdzie Ci układ równań, gdzie obliczasz współrzędne punktu/ów. Wyznacz te punkty, potem przejdziemy dalej

Vizer: A w wolframie daj przed funkcją extrema i wtedy ładnie wyznacza i zaznacza na rysunku. http://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+f%28x%2Cy%29%3Dx%5E3%E2%88%929xy%2By%5E3%E2%88%929

Basia: Nika teraz musisz rozwiązać układ równań f'_x(x,y) = 0 f'_y(x,y) = 0 czyli 3x²−9y=0 −9x+3y² = 0 rozwiąż i podaj wyniki podpowiadam: najpierw oba podziel obustronnie przez 3 to ułatwi rozwiązanie

Mila: Witaj Vizer, w pierwszym linku też ma ekstrema.

Vizer: Wiem Ale chciałem tylko pokazać, że jest taka opcja i troszkę bardziej szczegółowo pokazuje.

Mila: Tak, masz rację. Sprawdziłam, że jest więcej informacji.

Nika1410: Punkt (0,0) i (3,3) dobrze?

Basia: dobrze teraz policz cztery drugie pochodne f"_xx; f"_xy; f"_yx; f"_yy i też podaj wyniki (i zanotuj sobie schemat postępowania, tak się to zawsze robi)

Vizer: Zgadza się Teraz policz pochodne drugiego rzędu, czyli f''_xx, f''_xy, f''_yx, f''_yy.

Vizer: Heh dobra zostawiam Cię Basi, bo robimy duble

Ajtek: Cześć Mila, Vizer "z odcieniem różu"

Vizer: Cześć Ajtek, gdzie Ty tam widzisz róż

Ajtek: W Twoim niku, czerń z odcieniem różu czy fioletu

Basia: to jest GRANATOWY

Basia: no odrobiny fioletu można się dopatrzyć, zależy od kąta z jakiego się patrzy poważnie

Vizer: O i już wiadomo jaki to kolor! Żadne odcienie czerni, fioletu, różu!

Ajtek: Zaraz Nika wrzóci rozwiązanie, robione z moją pomocą. Proszę się nie śmiać jak narobiłem baboli . A może to granatowy z odcienią fioletu

Basia: Ajtek dużo Wy tego macie ? I na kiedy ?

Nika1410: f"_xx= (3x²)'= 6x f"_xy= (−9y)'= −9 f"_yx= −9 f"_yy= 6y sposób zapisu jest tu żmudny bardzo, długo mi się schodzi . dobrze mam?

aza: wrzuci chcesz być prezydętem?

Vizer: Wiedziałem, że zaraz Eta wpadnie

Ajtek: Cześć Eta . Zdradziłaś moje plany .

Nika1410: to już jest koniec, ostatnie zadanie. mam to na poniedziałek. resztę umiem sama, miałam wątpliwości co do tych zadań i potrzebowałam kogoś kto mi powie że jest na 100% dobrze.

Ajtek: Basia nie jest tego dużo. To na przyszły poniedziałek. Ale Nika jutro wyjeżdża.

aza:

Nika1410: materiał z funkcji wielu zmiennych muszę opanować sama, mój ćwiczeniowiec nie wyrobił się z materiałem, dlatego sprawia mi to problem, bo samemu to zawsze gorzej i niepewnie.

Ajtek: Nika

Basia: dobrze teraz liczymy wyznacznik Hessego (zwany czasem hesjanem) d(x,y) = f"_xx*f"_yy − f"_xy*f"_yx = 6x*6y − (−9)*(−9) = 36xy − 81 = 9(4xy − 9) i badamy jego znak w punktach "podejrzanych" czyli (0,0) i (3,3) d(0,0) = 9(0−9) = −1 d(3,3) = 9(4*3*3 − 9) = 9*27 = 81 wyciągamy wnioski jakie będą ?

Mila: ETA z krainy Basków.

Basia: częściowe wnioski; do ostatecznego jeszcze czegoś brakuje wiesz czego ?

Ajtek: Basia dlaczego d(0,0)=−1

Vizer: Oj tam −1 czy −81, nie ma znaczenia w zasadzie, ważny jest znak

Ajtek: Mila, dlaczego z krainy basków

Basia: no − 81 przecież; 8 zeżarło

Ajtek: Ja wiem, Wy wiecie, ale Nika niekoniecznie. Może się pogubić .

Nika1410: przepraszam was, ale czy mogę dokończyć to zadanie jutro i wrócić do wątku? mam jutro kolokwium zaliczeniowe semestralne z zarządzania i po prostu muszę jeszcze do tego usiąść, dopiero połowa materiału za mną...

Ajtek: Napisz o której będziesz mogła być .

Nika1410: orientacyjnie 15.

Basia: możesz oczywiście, tyle, że tam jedna linijka została do policzenia d(0,0) < 0 ⇒ w p−cie (0,0) nie ma ekstremum f(3,3)>0 ⇒ w p−cie (3,3) jest jakie ? liczymy f"_xx(3,3) = 6*3 > 0 czyli mamy minimum i koniec

Mila: Brawa dla Basi.

Basia: d(3,3) > 0 oczywiście (literówka)

Ajtek: Wielkie dziękuję dla Was wszystkich za okazaną pomoc . Ja tego nie pamiętałem, a miałem wszystko na studiach. Czas zabrać się ostro do roboty.

Mila: Ja też mało pamiętałam i już wyciągnęłam literaturę, ale pojawili się Basia i Vizer, no to poczytam kiedy indziej.

Ajtek: Mila puenta jest piękna .

Basia: Mnie tego w ogóle na studiach nie uczyli. To w końcu tylko mechaniczny schemat rachunkowy. My musieliśmy wiedzieć dlaczego tak się to liczy. Czyli po ludzku mówiąc umieć to wszystko udowodnić. I tego już za bardzo nie pamiętam

Ajtek: Dlaczego tak to się liczy to już inna sprawa.

Mila: Mnie też uczyli dowodzić, a nauczyć się rozwiązywać zadań musiałam sama.

Ajtek: Bowiem jak mawiał mój ŚP Profesor z ogólniaka: "matematyka jest sztuką dowodzenia, a nie liczenia"

Basia: No cóż studiowałyśmy Milu matematykę, nie rachunki

Ajtek: Obie jesteście po matmie?

Basia: I miał święta rację, Ajtku. Też miałam w liceum wspaniałą nauczycielkę matematyki. Wymagała oczywiście sprawności rachunkowej, ale mowy nie było, żeby pozwoliła zastosować jakiś wzorek, którego nie umiałoby się udowodnić. Z pochodnymi i całkami włącznie.

Basia: Obie i nie tylko.

Ajtek: Ja miałem podobnie, ale bez całek i pochodnych. Na klasówkach nie trzeba było robić dowodów, ale jak wziął do tablicy to nie było wyjścia. Padało pytanie: jak będziesz rozwiązywał i z czego korzystał. Jak było twierdzenie to najpierw dowodu wymagał.

Ajtek: Basia chciałem tylko wiedzieć, czy jesteście po studiach "królowej nauk" . Reszta jest tylko dodatkiem .

Basia: Bo uczył matematyki. Teraz uczą rachunków. Czasem nawet dość skomplikowanych, ale rachunków. Wiem na pewno, że 90% uczniów sprawnie rozwiązujących zadania związane z ostrosłupami prawidłowymi, nie potrafi wyjaśnić dlaczego spodek wysokości jest tam gdzie jest. Dobrze wiedzą gdzie jest, ale na pytanie "a skąd wiesz, że tam" sensowną odpowiedź dostaniesz raz na 10. No dobrze pomarudziłam i starczy. Muszę kończyć. Dobranocka

Basia: Tak; napisałam o 22:57. Może Ci umknęło

Ajtek: Spokojnej nocki . Raz jeszcze dziękuję za pomoc .

Mila: Basiu, było sympatycznie. Dobranoc

Ajtek: Do tego się odnosiłem o 22:59

Basia: Nika jeżeli tu jesteś zadanie jest skończone. Wpis z 22:29