Ekstrema funkcji wielu zmiennych Otsu: Na hiperboli X² − y² = 4 wyznacz punkt leżący najbliżej punktu (0,2) Proszę o pełne rozwiązanie jeśli można, bo dochodzę do pochodnej i dalej nic O.O

Otsu: Pomocy

Otsu: Błagam pomóż ktoś

Basia: P∊hiperboli to P(x; √x²−4) lub P(x, −√x²−4) x²−4≥0 ⇔ x∊(−∞;−2>∪<2;+∞) A(0,2) |AP| osiąga minimum ⇔ |AP|² osiąga minimum (bo |AP|>0) dla P(x; √x²−4) f(x) = |AP|² = (x−0)² + (√x²−4−2)² = x²+x²−4 − 4√x²−4 + 4 = 2x² − 4√x²−4

	1		4x
f'(x) = 4x − 4*		*2x = 4x −		=
	2√x2−4		√x2−4

	1		√x2−4−1
4x*[ 1 −		] = 4x*
	√x2−4		√x2−4

f'(x) = 0 ⇔ x=0∉D lub √x²−4−1=0 √x²−4 = 1 x² − 4 = 1 x²−5 = 0 (x−√5)(x+√5) = 0 x = −√5 lub x=√5 x∊(−∞;−√5) ⇒ x²−4 > 5−4 = 1 ⇒ √x²−4>1 ⇒ √x²−4 − 1 > 0 ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f↗ x∊(−√5;−2> ⇒ x²−4 < 5−4 =1 ⇒ √x²−4<1 ⇒ √x²−4−1<0 ⇒ f'(x)>0 ⇒ f↘ czyli dla x=−√x f osiąga maksimum czyli ten punkt nas nie interesuje x∊<2;√5) ⇒ x²−4 < 5−4=1 ⇒ √x²−4<1 ⇒ √x²−4−1<0 ⇒ f'(x)<0 ⇒ f↘ x∊(√5;+∞) ⇒ x²−4>5−4=1 ⇒ √x²−4>1 ⇒ √x²−4−1>0 ⇒ f'(x)>0 ⇒ f↗ czyli dla x=√5 osiąga minimum szukanym punktem jest P₁(√5; 1) analogicznie należy zbadać drugi przypadek czyli P(x; −√x²−4)

Basia: tylko gdzie tu jest funkcja wielu zmiennych ?

Otsu: No właśnie, podałam wszystkie dane O.O

Otsu: Ta parabola jest tą funkcją ^^ Kurde, nie rozumiem tego

Otsu: Czy ktoś mógłby mi to jeszcze raz wyjaśnić? ^^ Bardzo proszę ^^