Rozwiąż równanie różniczkowe 'me~:

	dy
Mam problem z rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego. Wygląda ono tak:		+ 2xy =
	dx

2x³y³. Wydaje się proste, ale nie mogę go rozdzielić...

'me~: odświeżam

Vizer: Wydaje mi się, że jest to równanie Bernouli'ego, więc należy podzielić obustronnie przez y³, podstawić za t = y⁻², co na już da równanie liniowe.

'me~: mógłby mi ktoś to rozwiązać tylko tak krok po kroku, bo nie bardzo to ogarniam, a mam jeszcze kilka zadań do zrobienia więc dobrze by było to zrozumieć

Vizer: To na początku mamy do czynienie z równaniem Bernoulli'ego : y' + p(x)y = g(x)yⁿ W naszym przykładzie; p(x) = 2x, g(x) = 2x³ Dzielimy obustronnie przez y³ (ogólnie : yⁿ) oraz y ≠ 0 ( y = 0 widać też będzie rozwiązaniem, więc podczepimy go do rozwiązania na końcu)

y'		2x
	+		= 2x3
y3		y2

Teraz podstawiam t = y⁻² (ogólnie : t = y^{1 − n}). Obliczam także t' :

	y'		y'		1
t' = −2y−3y' = −2		⇒		= −		t'
	y3		y3		2

Wstawiamy do równania otrzymując równanie liniowe :

	1
−		t' + 2xt = 2x3
	2

t' − 4xt = −4x³ Jak wcześniej pisałem mamy równanie liniowe niejednorodne postaci : y' + p(x)y = g(x) Rozwiązujemy gotowym wzorem (który można w miarę łatwo wyprowadzić) y = e^−∫p(x)dx * ( ∫ g(x) * e^∫p(x)dxdx + C) No to liczymy co nam potrzebne do tego wzoru ( p(x) = −4x, g(x) = −4x³)

	1
−4 ∫ x dx = −4 *		x2 + C = −2x2 + C
	2

	1
∫ −4x3 * e−2x2 dx = ... =		e−2x2(2x2 + 1) + C
	2

	1		1
t = e2x2(		e−2x2(2x2 + 1) + C) =		(2x2+1) + Ce2x2
	2		2

Ponieważ t = y⁻² to

1		1
	=		(2x2+1) + Ce2x2
y2		2

	1
y = (		(2x2+1) + Ce2x2)−1/2
	2

	1
Rozwiązanie : y = (		(2x2+1) + Ce2x2)−1/2 oraz y = 0
	2

Ale się rozpisałem, nigdy więcej już ... Pewnie masa błędów, jak ktoś ma chęć niech wychwyci i poprawi mnie

Basia: Mnie się wydaje, że dobrze, ale za chwilę sama policzę na papierze, bo na ekranie często coś przegapiam.

ZKS: Brakuje tylko ujemnego jeszcze rozwiązania tak to jest wszystko .

Vizer: Jakiego ujemnego, bo coś nie mogę dostrzec A i dzięki za sprawdzenie

ZKS:

	1
y = ±[		(2x2 + 1) + Ce2x2]−1/2
	2

Vizer: Bueh, no przecież! Nakładałem pierwiastek kwadratowy, dzięki ZKS za czujność

'me~: Dzięki za poświęcenie czasu

Vizer: Spoko

'me~: przydałoby mi się wyprowadzenie tego wzoru y = e^−∫p(x)dx * ( ∫ g(x) * e^∫p(x)dxdx + C)

Vizer: Tutaj jest całkiem sensownie to wyprowadzone : http://matma4u.pl/topic/28828-rownanie-rozniczkowe-liniowe-pierwszego-rzedu/

'me~: Ok to jeszcze jedno pytanie mam. Czy dobrze całkę liczę. I₁=−4∫x³*e^−2x2dx+C=... t=x⁴ x²=√t

dt
	=x3dx
3

	4		2
...=−		∫e−2√t+C=−		e−2x2
	3		3

	2
I wtedy t =e2x2*(−		e−2x2). Tylko pewnie gdzieś się walnąłem.
	3

Vizer: Po pierwsze (x⁴)' = 4x³, bo wg Twojego zapisu 3x³, po drugie pospieszyłeś się z policzeniem całki : ∫ e^−2√tdt , podstaw jakieś u = −2√t i oblicz.

'me~: Jeżeli podstawię za u=−2√t to będzie du=−t^−1₂dt i robi się problem.... Jest też taka opcja, że już powoli mi się mózg wyłącza

Vizer: Problem nie problem, podnieść do kwadratu obustronnie i nie ma problemu

'me~: Nie będę komentował swojej tępoty umysłowej... Czyli to będzie u²=4t stąd 2udu=dt I₁=−∫e^u*2udu i teraz w=u w'=1 a v'=e^u v=e^u więc I₁=2ue^u−2e^u dobrze?

'me~: wkradł sie błąd nie 2udu=dt a ¹₂udu=dt

Vizer: 2udu = 4dt

Vizer:

	1
No czyli zamiast tych dwójek będą
	2

'me~: No nareszcie wyszło mi tak samo jeszcze raz dzięki za pomoc