Indukcja matematyczna ingamr: Udowodnij że dla każdej liczby naturalnej n≥1 prawdziwe jest twierdzenie: n³ −n −3 jest podzielne przez 3 Nie potrafie ruszyć tego zadania

Eta: Liczba podzielna przez 3 jest postaci 3k , k€C a= n(n²−1)−3 = n(n−1)(n+1) −3= (n−1)*n(n+1) −3 n−1, n,n+1 −−− trzy kolejne liczby naturalne, wśród nich jest co najmniej jedna podzielna przez 2 i dokładnie jedna podzielna przez 3 zatem liczba a jest podzielna przez 3 bo (n−1)*n*(n+1) −−− podzielna przez 3 i −3 −− podzielne przez 3

Basia: krok 1 n=1 1³−1−3 = −3 = (−1)*3 czyli jest podzielne przez 3 krok 2 Z_i: n³−n−3 = k*3 k∊C T_i: (n+1)³−(n+1)−3 = m*3 m∊C dowód: (n+1)³−(n+1)−3 = = n³+3n²+3n+1−n−1−3 = (n³−n−3)+(3n²+3n) = k*3 + 3(n²+n) = (k+n²+n)*3 m = k+n²+n∊C bo k∊C a n²,n∊N⊂C a suma liczb całkowitych jest całkowita czyli (n+1)³−(n+1)−3 = m*3 m∊C c.b.d.u.

ingamr: dziękuje ale da się to rozwiązać tego typu przykład tą metodą "trzy etapową" (ta w której wstawia się pierw 1 później k później k+1) tak jak inne zadania na indukcje? chodzi o to że ja sie ucze troszke schematycznie i wiedziałem że tak to można rozwiązać jednak już przykładu: 5ⁿ −1 podzielne przez 4 już nie jestem w stanie tak łatwo rozwiązać

ingamr: ok, dziękuje basi wyprzedziłaś mnie z odpowiedzią

Eta:

Basia: też można bez indukcji, z dwumianu Newtona 5ⁿ−1 = (4+1)ⁿ − 1 =

n 0		n 1		n 2		n n
	*40 +		*41 +		*42+......+		4n − 1 =

	n 1		n 2		n n
1 +		*41 +		*42+......+		4n − 1 =

n 1		n 2		n n
	*41 +		*42+......+		4n =

	n 1		n 2		n n
4*(		* +		*41+......+		4n− 1)

a wiesz jak udowodnić indukcyjnie ?

ingamr: tzn. nauczyłem się (z filmiku na youtube ) udowadniać indukcyjnie ale przykłady typu 2+4+6+...+2n=n(n+1) więc sobie wyrobiłem w głowie schemat rozwiązywania tego typu zadań więc moge je robić na czas xD ale rozwiązując zadania w podręczniku natrafiłem na zadanie w którym musze udowadniać podzielność i na to już mój schemat nie działa a zadanie jest w dziale "indukcja matematyczna więc właśnie raczej tymsposobem powinienem umiec ot rozwiązywać. PS. Eta tobie też dziękuje

Basia: no to będzie tak krok 1 5¹−1 = 5−1 = 4 = 4*1 1∊C jest podzielne przez 4 krok 2 Z_i: 5ⁿ−1 = k*4 k∊C ⇔ 5ⁿ = k*4+1 k∊C T_i: 5ⁿ⁺¹−1 = m*4 m∊C dowód: 5ⁿ⁺¹−1 = 5ⁿ*5−1 = (k*4+1)*5 − 1 = 20k +5 − 1 = 20k+4 = 4(5k+1) m = 5k+1∊C c.b.d.u.

ingamr: dziękuje już wszystko rozumiem